數(shù)列知識在物理中的應(yīng)用.doc

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1、......數(shù)列知識在物理中的應(yīng)用凡涉及數(shù)列求解的物理問題，都具有多過程、重復(fù)性的共同特點。但每一個重復(fù)過程均不是原來的完全重復(fù)，是一種變化了的重復(fù)。隨著物理過程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著“前后有聯(lián)系的變化”。而該類問題求解的關(guān)鍵是確立相關(guān)物理量的數(shù)列關(guān)系，在此過程中涉及到的基本方法有兩種：方法一、數(shù)學(xué)歸納法：（1）逐個分析開始的幾個物理過程；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法從中找出物理量的變化通項公式；方法二、遞推公式法：（1）分析物理過程，確立物理過程的重復(fù)特點；（2）利用相關(guān)量第n項與第（n-1）項的遞推關(guān)系找出物理量的變化通項公式。有些物理問題中還需要用到等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和公式進(jìn)行計

2、算.專業(yè)資料.......題1：（07全國i）24（18分）如圖所示，質(zhì)量為m的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為m=19m的金屬球并排懸掛。現(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成θ=60°的位置自由釋放，下擺后在最低點處與金屬球發(fā)生彈性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場。已知由于磁場的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻鲎睬巴Ｔ谧畹忘c處。求經(jīng)過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°。方法一：數(shù)學(xué)歸納法設(shè)：小球m的擺線長度為l，小球m在下落過程中與m相碰之前滿足機械能守恒：①m和m碰撞過程滿足：②③聯(lián)立②③得：④說明小球被反彈，而后小球又以反彈速度和小球m發(fā)生碰撞，滿足：⑤⑥解得：⑦整理得：⑧.專業(yè)資

3、料.......所以：，即⑨而偏離方向為450的臨界速度滿足：⑩聯(lián)立①⑨⑩代入數(shù)據(jù)解得，當(dāng)n=2時，當(dāng)n=3時，所以，最多碰撞3次。評析：本題有重復(fù)碰撞的過程，且每次碰撞的前后均滿足動量守恒和機械能守恒，每次碰撞后速度逐漸變小，利用兩個守恒式推出兩球碰撞后的速度的大小，通過數(shù)學(xué)歸納找到各次碰后速度大小的聯(lián)系，從而得出碰后速度的通項公式，再利用上擺過程機械能守恒建立碰撞次數(shù)與擺角的關(guān)系進(jìn)行求解。方法二：遞推公式法解：設(shè)在第n次碰撞前絕緣球的速度為vn-1，碰撞后絕緣球、金屬球的速度分別為vn、vn。由于碰撞過程中動量守恒、碰撞前后動能相等，設(shè)速度向左，則：解得：依題（公比為的等比數(shù)列）第n次

4、碰撞后絕緣球的動能為：e0為第1次碰撞前的動能，即初始能量.專業(yè)資料.......絕緣球在θ=θ0=60°與θ=45°處的勢能之比為：經(jīng)n次碰撞后有：易算出（0.81）2=0.656，（0.81）3=0.531，因此，經(jīng)過3次碰撞后θ小于45°。評析：方法二直接利用動量守恒與機械能守恒建立第n次碰撞前后的關(guān)系從而得出第n項的遞推公式和而解決問題。近年高考中涉及數(shù)列知識應(yīng)用的題目平時并不多見，下面再以兩道習(xí)題去進(jìn)一步熟悉等差數(shù)列求和、等比無窮數(shù)列求和知識在高中物理中的應(yīng)用：題2：如圖所示，在傾角θ=30°且足夠長的斜面上分別固定著兩個相距l(xiāng)=0.2m的物體a、b，它們的質(zhì)量ma=mb=1kg

5、，與斜面間的動摩擦因數(shù)分別為和。在t=0時刻同時撤去固定兩物體的外力后，a物體將沿斜面向下運動，并與b物體發(fā)生連續(xù)碰撞（碰撞時間極短，忽略不計），每次碰后兩物體交換速度。g取10m/s2。求：（1）a與b第一次碰后瞬時b的速率？（2）從a開始運動到兩物體第二次相碰經(jīng)歷多長時間？（3）從a開始運動至第n次碰撞時a、b兩物體通過的路程分別是多少？.專業(yè)資料.......解：a物體沿斜面下滑時：物體沿斜面下滑時有：（1）由上面可知，撤去固定a、b的外力后，物體b恰好靜止于斜面上，物體a將沿斜面向下做勻加速直線運動.a與b第一次碰撞前的速度，故a、b第一次碰后瞬時，b的速率（2）從a開始運動到第一

6、次碰撞用時：，兩物體相碰后，a物體的速度變?yōu)榱?，以后再做勻加速運動，而b物體將以的速度沿斜面向下做勻速直線運動。設(shè)再經(jīng)t2時間相碰，則有，解之可得t2=0.8s。故從a開始運動到兩物體第二次相碰，共經(jīng)歷時間：t=t1+t2=0.4+0.8=1.2s。（3）第二次碰前a速度為2m/s，b速度為1m/s，碰后a、b交換速度，第二次碰后b速度為2m/s，a速度為1m/s，設(shè)碰后至下次碰撞經(jīng)歷的時間為δt，則有.專業(yè)資料.......碰后a、b交換速度，碰后b的速度均要比a的速度大1m/s。即δt=0.8同理第n次碰后到第（n+1）碰撞，δt=0.8從第2次碰撞開始，每次a物體運動到與b物體碰撞時

7、，速度增加量均為δv=at2=2.5×0.8m/s=2m/s，由于碰后速度交換，因而每次碰后b物體的速度增加1m/s，即第一次碰后：vb1=1m/第二次碰后：vb2=2m/第三次碰后：vb3=3m/??第n次碰后：vbn=nm/每次碰后的速度為一等差數(shù)列每段時間內(nèi)，b物體都做勻速直線運動，則第n次碰前所運動的距離為=[1+2+3+??+（n-1）]×δt=m（n=1，2，3，??，n-1）a物體比b物體多運動l長度，則.