期權(quán)的二叉樹定價(jià)模型.ppt

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1、期權(quán)的二叉樹定價(jià)模型在實(shí)際的金融市場(chǎng)中最為關(guān)鍵的問(wèn)題是：在一定條件下，期權(quán)價(jià)格的合理取值應(yīng)為多少？本節(jié)將討論標(biāo)的資產(chǎn)為離散和連續(xù)情形下的歐式看漲期權(quán)（calloption）定價(jià)問(wèn)題。為期權(quán)進(jìn)行準(zhǔn)確估值的一個(gè)常用方法是構(gòu)造二叉樹圖。這個(gè)二叉樹圖能夠描述標(biāo)的資產(chǎn)（股票）在期權(quán)的有效期內(nèi)所可能夠遵循的路徑。1一、單期二叉樹模型1．二叉樹模型的例子首先我們看下面的一份例子。假設(shè)某種股票的當(dāng)前價(jià)格為$20，并且能夠知道三個(gè)月后，股票的價(jià)格后的可能取值為兩個(gè)$22或$18。假設(shè)股票不付紅利，我們將對(duì)三個(gè)月后以$21執(zhí)行價(jià)格買入股票的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行估值。根據(jù)期權(quán)合約的定義，很容易計(jì)算得到

2、下面的結(jié)果：在期權(quán)的到期日，如果股票價(jià)格為$22，則期權(quán)的價(jià)值將是$1；如果股票價(jià)格為$18，則期權(quán)的價(jià)值將是0。2股票和期權(quán)的取值情況如圖所示3根據(jù)無(wú)套利定價(jià)的思想為期權(quán)定價(jià)在無(wú)套利假設(shè)條件下，如何利用二叉樹模型為期權(quán)定價(jià)。我們將構(gòu)造股票和期權(quán)的投資組合，特別的，將股票和期權(quán)分別取適當(dāng)?shù)念^寸，我們將能夠構(gòu)造出一份期權(quán)和相應(yīng)股票頭寸的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，從而無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的價(jià)值在三個(gè)月末是確定值。由于該組合無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，根據(jù)無(wú)套利假設(shè)條件，所以該組合的收益率一定等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，由此我們可以得出有關(guān)期權(quán)價(jià)格的一個(gè)方程，求解該方程，就可以得出期權(quán)的價(jià)格。由于組合中只有兩種證券（股票和股票期權(quán)），

3、并且只有兩個(gè)可能的結(jié)果，所以只要選擇合適的股票和期權(quán)的比率，我們一定能構(gòu)造出無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合。4構(gòu)造下面的證券組合該組合包含△股股票的多頭頭寸和一份看漲期權(quán)的空頭頭寸。我們首先計(jì)算△值為多少時(shí)，所構(gòu)造的組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合。當(dāng)股票價(jià)格從$20上升到$22時(shí)，股票的價(jià)值為22△，期權(quán)的價(jià)值為$1，在這種情況下，該證券組合的價(jià)值為22△-1；當(dāng)股票價(jià)格從$20下降到$18時(shí)，股票的價(jià)值為18△，期權(quán)的價(jià)值為零，在這種情況下，該證券組合的價(jià)值為18△。如果選取某個(gè)具體的△值，使得在兩種情況下，組合最終的價(jià)值相等，則該證券組合一定是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合。即22△-1=18△，求解可得：△=0.255因此

4、，按照上面求出的△值，我們可以構(gòu)造下面的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合為：多頭：0.25股股票空頭：一份看漲期權(quán)合約如果股票價(jià)格上升到$22，該組合的價(jià)值為：22*0.25–1=4.5如果股票價(jià)格下跌到$18，該組合的價(jià)值為：18*0.25=4.5可以看到，無(wú)論股票價(jià)格怎樣變化，最終是上升還是下降，在期權(quán)有效期結(jié)束時(shí)，我們構(gòu)造的證券組合價(jià)值總是$4.5。6在無(wú)套利假設(shè)條件下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合的收益率一定為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率12%。我們可以計(jì)算該組合的現(xiàn)在價(jià)值一定是$4.5，即：我們用f表示期權(quán)的價(jià)格。已知股票現(xiàn)在價(jià)格為$20，因此該組合現(xiàn)在的價(jià)值為：20*0.25–f=5–f于是

5、5–f=4.367求解可得f=0.633在無(wú)套利假設(shè)條件下，期權(quán)的價(jià)值一定為$0.633。7如果期權(quán)的價(jià)值超過(guò)了$0.633，投資者構(gòu)造該組合的成本就有可能低于$4.367，并將獲得超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的額外利潤(rùn)，這與無(wú)套利假設(shè)條件矛盾；如果期權(quán)的價(jià)值低于$0.633，投資者可以通過(guò)賣空該證券組合來(lái)獲得低于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的資金，這與無(wú)套利假設(shè)條件矛盾。82期權(quán)的二叉樹計(jì)算公式推導(dǎo)考慮一種不支付紅利的股票，股票現(xiàn)在價(jià)格為S，以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)，有效期為T的某個(gè)期權(quán)的價(jià)格為f，假設(shè)在未來(lái)T時(shí)刻股票的價(jià)格只有兩種取值情況，股票價(jià)格或者從S上升到一個(gè)新的價(jià)格，或者從S下降到一個(gè)新的價(jià)格(其中：

6、u>1,d<1)，即當(dāng)股票價(jià)格向上變化時(shí)，股票價(jià)格增長(zhǎng)的比率為u-1；當(dāng)股票價(jià)格向下變化時(shí)，股票價(jià)格減少的比率為1-d。在期權(quán)的有效期T時(shí)間，我們可以根據(jù)股票的取值情況，計(jì)算期權(quán)的相應(yīng)取值狀況。當(dāng)股票價(jià)格變化到Su時(shí)，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fu；當(dāng)股票價(jià)格變化到Sd時(shí)，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fd。利用前面例子的思想方法，我們可以利用股票和期權(quán)合約構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合。在證券的組合中，我們將選取△股的股票多頭頭寸和一份期權(quán)合約的空頭頭寸來(lái)組成證券組合。為使得該證券組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，我們需要計(jì)算股票的多頭頭寸數(shù)量△的具體取值。9股票價(jià)格和期權(quán)價(jià)格的單步二叉樹圖SufuSfSdfd如果股

7、票價(jià)格由S上升到Su，則在期權(quán)的到期日，該組合的價(jià)值為：Su△-fu如果股票價(jià)格由S下降到Sd，則在期權(quán)的到期日，該組合的價(jià)值為：Sd△-fd10要使得上述證券組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，則無(wú)論股票價(jià)格是上升還是下降，在期權(quán)的到期日，上述的兩個(gè)取值應(yīng)該相等，即Su△-fu=Sd△-fd整理可以得到（1）11當(dāng)組合中股票的△取值為時(shí)所構(gòu)造的組合一定是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，根據(jù)無(wú)套利假設(shè)條件，組合的收益一定為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。我們用r表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，則該組合的現(xiàn)值為：而該組合的初始價(jià)值為S△-f，因此將△代入上式可以得到其中（2）（