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1、第四節(jié)一、幾種常見的曲面及其方程二、二次曲面三、曲線曲面與曲線第七章由兩點(diǎn)間距離公式1.空間一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值，該動(dòng)點(diǎn)軌跡叫球面。特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為定值為R，定點(diǎn)表示上(下)球面.定點(diǎn)叫球心，定值叫半徑。例2.研究方程解:配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個(gè)球面,或點(diǎn),或虛軌跡.2、柱面.平行定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面.?拋物柱面,橢圓柱面.經(jīng)過z軸的平面.以上的柱面母線都平行
2、于Z軸C叫做準(zhǔn)線,l叫做母線.圓柱面一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x軸;平行于y軸;平行于z軸;準(zhǔn)線xoz面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線xoy面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線yoz面上的曲線l2.母線一條平面曲線3、旋轉(zhuǎn)曲面繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:建立yoz面上曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yoz面上曲線C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？例3.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面
3、上直線L的方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方例4.求坐標(biāo)面xoz上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞x軸旋轉(zhuǎn)繞z軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為二、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及
4、也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c時(shí)為球面.(3)截痕:為正數(shù))2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q同號(hào))(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當(dāng)p=q時(shí)為繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.(p,q同號(hào))3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于x軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:虛軸平行于x軸）時(shí),截痕為時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于z軸;相交直線:雙曲線:(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面圖形4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線.①內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程球面旋
5、轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z軸的旋轉(zhuǎn)曲面:柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.2.二次曲面三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:設(shè)有兩塊曲面S1,S2,它們的方程依次為:S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0S1,S2的交線C上的點(diǎn)一定同時(shí)滿足這兩個(gè)方程,而不在交線上的點(diǎn)絕不會(huì)同時(shí)滿足這兩個(gè)方程.因此即為交線C的方程,稱為空間曲線C的一般方程.(2)二、空間曲線及其方程1.空間曲線的一般方程2.空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x,y,z
6、都表示成一個(gè)參數(shù)t的函數(shù).x=x(t)y=y(t)(3)z=z(t)當(dāng)給定t=t1時(shí),就得到C上一個(gè)點(diǎn)(x,y,z),隨著t的變動(dòng)便可得曲線C上的全部點(diǎn).方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程.例6:如果空間一點(diǎn)M在圓柱面x2+y2=a2上以角速度?繞z軸旋轉(zhuǎn),同時(shí)又以線速度v沿平行于z軸的正方向上升(其中?,v都是常數(shù)),那末點(diǎn)M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線,試建立其參數(shù)方程.解:取時(shí)間t為參數(shù),設(shè)當(dāng)t=0時(shí),動(dòng)點(diǎn)位于x軸上的一點(diǎn)A(a,0,0)處,經(jīng)過時(shí)間t,由A運(yùn)動(dòng)到M(x,y,z),M在xOy面上的投影為M?(x,y,0).xyzh
7、AOM?tM?(1)動(dòng)點(diǎn)在圓柱面上以角速度?繞z軸旋轉(zhuǎn),所以經(jīng)過時(shí)間t,?AOM?=?t.從而x=
8、OM?
9、·cos?AOM?=acos?ty=
10、OM?
11、·sin?AOM?=asin?t(2)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)以線速度v沿z軸向上升.因而z=MM?=vt得螺旋線的參數(shù)方程x=acos?ty=asin?tz=vt注:還可以用其它變量作參數(shù).xyzAOM?tM?yxzAOM?tM?例如:令?=?t.?為參數(shù);螺旋線的參數(shù)方程為:x=acos?y=asin?z=b?當(dāng)?從?0變到?0+?是,z由b?0變到b?0+b?,即M點(diǎn)上升的高度與OM?轉(zhuǎn)
12、過的角度成正比.特別,當(dāng)?=2?時(shí),M點(diǎn)上升高度h=2?b,h在工程上稱h=2?b為螺距.3.空間曲線在坐標(biāo)面上投影設(shè)空間曲線C的一般方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(4)由方程組(4)消去z后得方程H(x,y)=0(5)方程(5)表示一個(gè)母線平行于
