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1、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第4章一、剛體的運(yùn)動(dòng)無(wú)論在多大外界作用下，物體的形狀和大小均不發(fā)生改變，這樣的物體稱(chēng)為剛體。各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置永不發(fā)生變化的質(zhì)點(diǎn)系。1、平動(dòng)剛體在運(yùn)動(dòng)中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。平動(dòng)中剛體上的各點(diǎn)均有相同的軌跡、位移、速度及加速度。用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)討論。2、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)均繞同一固定直線旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心都在一條固定不動(dòng)的直線（轉(zhuǎn)軸）上。轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)軸參考方向各質(zhì)元的線速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述剛體整體的運(yùn)動(dòng)用角量最方便。二、剛體的轉(zhuǎn)
2、動(dòng)定律1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：式中：r為dm至轉(zhuǎn)軸的距離。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小與三個(gè)因素有關(guān)：剛體的總質(zhì)量質(zhì)量相對(duì)于定軸的分布轉(zhuǎn)軸的位置例1、P67例4-2。計(jì)算質(zhì)量為m，長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻質(zhì)細(xì)桿繞垂直中心軸Z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ZOX解：建立坐標(biāo)系，如圖。同理，轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)并與桿垂直時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量見(jiàn)教材P68表4-2-1（不需要背）2、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面（1）外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)方向：沿轉(zhuǎn)軸Z方向。（2）外力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)把外力分解成兩個(gè)分力：與轉(zhuǎn)軸平行的力對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)不起作用。（3）合外力矩在定軸
3、轉(zhuǎn)動(dòng)中：3、轉(zhuǎn)動(dòng)定律在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中：剛體獲得的角加速度的大小與剛體受到的合外力矩M成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J成反比。注意：M、的+、-號(hào)規(guī)定。方向：沿轉(zhuǎn)軸Z方向。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的處理方法：先隔離各物體，分析受力情況。再根據(jù)牛頓定律研究平動(dòng)，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律研究轉(zhuǎn)動(dòng)，找出平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的牽連關(guān)系。例2:(教材P69，例4-4）質(zhì)量均為m的兩個(gè)物體A、B，A放在傾角為的光滑斜面上，通過(guò)繞在定滑輪的細(xì)繩與B相連，定滑輪是質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤(pán)。求繩中張力T1和T2，以及A、B的加速度。解：物體A、B、定滑輪受力如圖。聯(lián)立（1）-（
4、4），可得對(duì)物體A：對(duì)物體B：對(duì)定滑輪：牽連關(guān)系：三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的動(dòng)能定理1、力矩的功O轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的外力的元功：力矩M做的元功：Z剛體從轉(zhuǎn)到角時(shí)，力矩M所作的總功：2、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，等于剛體上所有質(zhì)元?jiǎng)幽苤汀?、動(dòng)能定理合外力矩M作的元功：積分得外力矩對(duì)剛體作功之和，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。四、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量及其守恒定律1、質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量O在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上，各質(zhì)元對(duì)軸的角動(dòng)量都沿轉(zhuǎn)軸方向。2、剛體對(duì)軸的角動(dòng)量推導(dǎo)...圓周運(yùn)動(dòng)：質(zhì)元對(duì)軸的角動(dòng)量：剛體對(duì)軸的角動(dòng)量：、、的方向，都沿轉(zhuǎn)軸方向。所以推導(dǎo)：3、
5、剛體角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律由質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理：標(biāo)量式：剛體角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，等于作用于剛體上的外力矩之和。剛體角動(dòng)量的增量，等于剛體受到的沖量矩。上式稱(chēng)為剛體的角動(dòng)量守恒定律。當(dāng)剛體所受的外力矩之和等于零時(shí)，剛體的角動(dòng)量保持不變。強(qiáng)調(diào)：當(dāng)系統(tǒng)為質(zhì)點(diǎn)和剛體組成時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)對(duì)某一定軸的外力矩之和為零時(shí)，系統(tǒng)對(duì)該軸的總角動(dòng)量保持不變。即：五、質(zhì)點(diǎn)與剛體力學(xué)規(guī)律對(duì)照表質(zhì)點(diǎn)剛體（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）五、質(zhì)點(diǎn)與剛體力學(xué)規(guī)律對(duì)照表（續(xù)）質(zhì)點(diǎn)剛體（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）動(dòng)量守恒定律：角動(dòng)量守恒定律：剛體動(dòng)力學(xué)規(guī)律的應(yīng)用舉例例1：如圖，質(zhì)量m，長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞水平的光
6、滑軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸O在桿的A端。若使桿于水平位置從靜止開(kāi)始向下擺動(dòng)，求桿擺到鉛直位置時(shí)的角速度。OmgN?方法一：應(yīng)用動(dòng)能定理?OmgN方法二：應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律分離變量后，積分方法四：應(yīng)用機(jī)械能守恒定律（見(jiàn)下一個(gè)例題）方法三：應(yīng)用角動(dòng)量定理例2：質(zhì)量m，長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)棒，可繞過(guò)其一端的水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)將棒拉到水平位置（OA’）放手，棒下擺到鉛直位置（OA）時(shí)，與水平面A處的質(zhì)量為M的物塊作完全彈性碰撞，物體在水平面上向右滑行了一段距離s后停止。設(shè)物體與水平面間的摩擦系數(shù)處處相同，求證思路：分清過(guò)程分析受力選擇系統(tǒng)應(yīng)用規(guī)律MMsOAA’解
7、：（1）第一階段：棒從水平位置下擺到鉛直位置但尚未與物塊碰撞。以棒和地球?yàn)橄到y(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。選擇地面處的EP=0。MMsOAA’（2）第二階段：棒與物塊作完全彈性碰撞。以棒和物塊為系統(tǒng)，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒。MMsOAA’（3）第三階段：碰撞后物塊在水平面上滑行。應(yīng)用動(dòng)能定理。聯(lián)立以上五式，可證明：作業(yè)：教材：3—25；4—10，12教材：4—15，16，17
