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1、第三章線性代數(shù)3.1常用矩陣函數(shù)norm：矩陣或向量范數(shù)Forvectors...norm(V,P)=sum(abs(V).^P)^(1/P).norm(V)=norm(V,2).norm(V,inf)=max(abs(V)).norm(V,-inf)=min(abs(V)).例x=[12345];x=[120300405];x=[100002000300405];[norm(x,1),norm(x,2),norm(x,3),norm(x,inf)]例:不同范數(shù)意義下的單位圓運行以下Matlab程序，文件名為：normpolt.m描繪norm(x,1)=1;norm(x
2、,2)=1;norm(x,inf)=1的圖形Formatrices...norm(X)isthelargestsingularvalueofX,max(svd(X)).norm(X,2)isthesameasnorm(X).norm(X,1)isthe1-normofX,thelargestcolumnsum,=max(sum(abs(X))).norm(X,inf)istheinfinitynormofX,thelargestrowsum,=max(sum(abs(X'))).norm(X,'fro')istheFrobeniusnorm,sqrt(sum(diag(
3、X'*X))).norm(X,P)isavailableformatrixXonlyifPis1,2,infor'fro'.例x=[120300;400506;708009];[norm(x,1),norm(x,2),norm(x,inf),norm(x,'fro')]dot(x,y)向量的內(nèi)積det(A)方陣的行列式；rank(A)矩陣的秩；trace(A)矩陣的跡；rref(A)初等變換化矩陣A為階梯矩陣inv(A)矩陣的逆；即A-1pinv(A)矩陣的廣義逆A+null(A)零空間的基陣roth(A)值空間的基陣orth(A)將A標(biāo)準(zhǔn)正交化cond(A,flag)
4、矩陣的條件數(shù),flag=2,1,inf,'fro';例：分別求x=[1378-2],y=[393-39]的長度與它們的夾角。x=[1378-2];y=[393-39];xx=norm(x,2);yy=norm(y,2);theta=acos(dot(x,y)/(xx*yy));s=[xx,yy,theta]例：給定一組線性無關(guān)的向量，將其標(biāo)準(zhǔn)正交化a=magic(5);b=orth(a)d=eig(A)：方陣的特征值；[V,D]=eig(A):A*V=V*D[V,J]=jordan(A):A*V=V*Jc=condeig(A)：向量c中包含矩陣A關(guān)于各特征值的條件數(shù)[V
5、,D,c]=condeig(A)：例:A=[100;120;123],d=eig(A),[V,D]=eig(A),C=condeig(A),[V,D,C]=condeig(A),例：觀察7階隨機矩陣特征值的分布a=rands(7,7)%產(chǎn)生7階隨機矩陣e=eig(a)title('特征值的分布');plot(real(e),imag(e),'o')xlabel('實軸');ylabel('虛軸');注：本例驗證了如下定理：實方陣的特征值或為實數(shù)或呈共軛對出現(xiàn)。例：觀察正交矩陣的特征值分布a=rands(7,7);b=orth(a);%構(gòu)造一個正交矩陣theta=0:0.
6、01:2*pi;e=eig(b);plot(real(e),imag(e),'r*',cos(theta),sin(theta));axisequaltitle('正交矩陣特征值的分布');xlabel('實軸');ylabel('虛軸');注：本例驗證了正交矩陣的特征值分布在復(fù)平面的單位圓上。例:矩陣范數(shù)與譜半徑之間的關(guān)系觀察所有特征值的分布是否在半徑為
7、
8、A
9、
10、的復(fù)單位圓內(nèi)。a=rands(7,7)[phro,norm]=normspet(a,p)p=1,2,inf3.2矩陣的運算一、矩陣的轉(zhuǎn)置、乘積，逆A=[100;120;123],A_trans=A‘H=[12
11、3;210;123],K=[123;210;231]HK=H*KH_inv=inv(H),K_inv=K^-1二、矩陣的左除和右除左除“”：求矩陣方程AX=B的解；（A、B的行要保持一致）解為X=AB；當(dāng)A為方陣且可逆時有X=AB=inv(A)*B；右除“/”：求矩陣方程XA=B的解（A、B的列要保持一致）解為X=B/A，當(dāng)A為方陣且可逆時有X=B/A=B*inv(A)【例】“求逆”法和“左除”法解恰定方程的性能對比（1）構(gòu)造一個條件數(shù)很大的高階恰定方程randn('state',0);A=gallery('randsvd',100
