等參數(shù)單元(等參元).ppt

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1、在平面問(wèn)題和軸對(duì)稱問(wèn)題的有限元分析中，曾采用了線性位移模式的常應(yīng)變?nèi)切螁卧M(jìn)行計(jì)算。這種單元的最大優(yōu)點(diǎn)是：它能夠機(jī)動(dòng)靈活近似地表現(xiàn)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜邊界形狀；單元網(wǎng)格劃分時(shí)，能粗細(xì)變化比較自如，因而得到廣泛應(yīng)用。缺點(diǎn)是：由于它的位移采用線性插值函數(shù)，計(jì)算精度比較低；對(duì)結(jié)構(gòu)的曲線邊界只能用許多小直線段逐漸逼近。特別是，在結(jié)構(gòu)的應(yīng)力集中部位，產(chǎn)生的計(jì)算誤差較大，有時(shí)即使配置了極密集的單元網(wǎng)格，仍然不能很好地反映應(yīng)力集中因子的正確數(shù)值。第三章等參數(shù)單元（等參元）§3-1等參元概念對(duì)于矩形單元，由于它采用了雙線性位移模式，使得單元內(nèi)的應(yīng)力和

2、應(yīng)變不是常量而是按線性變化，它比常應(yīng)變?nèi)切螁卧茌^好地反映出結(jié)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)力分布狀態(tài)，但是它很難適應(yīng)曲線邊界和非正交的直線邊界；同時(shí)在劃分單元時(shí)，改變單元的大小也很困難，即不便于在不同部位采用大小不同的單元，因?yàn)橐寻衙總€(gè)單元的邊長(zhǎng)之半作為常量而引入單元?jiǎng)偠染仃囍校ㄒ?jiàn)式(2.48)）。因此，矩形平面單元未能在實(shí)際中得到廣泛的應(yīng)用。為此，我們希望找到一種單元，一方面它具有較高次的位移模式，能更好地反映結(jié)構(gòu)的復(fù)雜應(yīng)力分布狀態(tài)，即或是單元網(wǎng)格劃分的比較疏些，也可以得到比較好的計(jì)算精度；另一方面，它又能很好地適應(yīng)曲線邊界和非正交的直線邊

3、界。等參元就具備了上述兩條優(yōu)點(diǎn)，因而得到廣泛應(yīng)用。前面已談到：無(wú)論是三角形單元還是矩形單元，其單元內(nèi)位移用形函數(shù)表示為實(shí)際上不難證明：?jiǎn)卧獌?nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)同樣有上述關(guān)系，即(3-1)(3-2)可見(jiàn)，常應(yīng)變?nèi)切螁卧途匦螁卧獌?nèi)任一點(diǎn)的位移函數(shù)插值公式與該點(diǎn)的位置坐標(biāo)變換式，都具有完全相同的形式。它們都是用同樣個(gè)數(shù)的相應(yīng)結(jié)點(diǎn)值（結(jié)點(diǎn)位移值或坐標(biāo)值）作為參數(shù)，并且用完全相同的形函數(shù)作為這些結(jié)點(diǎn)值前面的系數(shù)項(xiàng)。當(dāng)參數(shù)取為結(jié)點(diǎn)位移時(shí)就得到位移函數(shù)插值公式；當(dāng)參數(shù)取為結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，就得到位置坐標(biāo)插值公式（或位置坐標(biāo)變換式）。常應(yīng)變?nèi)切螁卧?/p>

4、和矩形單元的這種位移函數(shù)插值公式與位置坐標(biāo)變換式之間的對(duì)應(yīng)協(xié)調(diào)關(guān)系，就是等參元的基本特征。所以，等參元的基本概念可簡(jiǎn)單概括成：一個(gè)單元的位移函數(shù)插值結(jié)點(diǎn)數(shù)與其位置坐標(biāo)變換結(jié)點(diǎn)數(shù)相等，其位移函數(shù)插值公式與位置坐標(biāo)變換式都用相同的形函數(shù)與結(jié)點(diǎn)參數(shù)進(jìn)行插值者，稱為等參元。顯然，常應(yīng)變?nèi)切螁卧途匦螁卧褪莾煞N最簡(jiǎn)單的等參元。但是，本章所要研究的等參元，并不是這種單元，而是4結(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元和8結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形單元。由前述知，具有雙線性位移模式的矩形單元只適用于正交的、規(guī)則形狀的結(jié)構(gòu)。對(duì)于非正交的、不規(guī)則形狀，可以用任意四邊形單元

5、代替矩形單元進(jìn)行有限元分割。在直角坐標(biāo)系（又稱整體坐標(biāo)系）中，任取一任意四邊形單元1,2,3,4，四邊形的四個(gè)角點(diǎn)取為結(jié)點(diǎn)，各結(jié)點(diǎn)的直角坐標(biāo)值為。對(duì)于這種任意四邊形等參元，可令其實(shí)際形狀所構(gòu)成的單元為子單元，把子單元的各邊中點(diǎn)連線做一個(gè)局部坐標(biāo)系（或稱自然坐標(biāo)系），且令單元各結(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)系分別是：；；；。這樣，就把子單元影射到局部坐標(biāo)系上，而成為正方形單元，稱此正方形單元為母單元。整體坐標(biāo)系適用于所有單元，即適用于整個(gè)求解區(qū)，而局部坐標(biāo)系只適用于每一個(gè)單元?！?-2四結(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元一．位移插值函數(shù)式及坐標(biāo)變換式在子單元

6、上再作各對(duì)邊的等分線，這些等分線影射到母單元上，也必然是母單元各對(duì)應(yīng)邊上的等分線。這樣，母單元與子單元之間的相應(yīng)點(diǎn)存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系說(shuō)明，在母單元平面上平行于或的直線，在平面內(nèi)的子單元上仍然是相對(duì)應(yīng)的直線。因此，我們就可以把矩形單元的位移函數(shù)插值式(3-1)，單元內(nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)變換式(3-2)，以及局部坐標(biāo)變換式（類似坐標(biāo)變換式），用在任意四邊形等參元上，并重新寫成(3-3)(3-4)(3-5)式(3-3)和(3-4)是任意四邊形在局部坐標(biāo)系下的位移插值函數(shù)和單元內(nèi)任一點(diǎn)局部坐標(biāo)插值公式，而式(3-5)是每個(gè)單

7、元的局部坐標(biāo)系與結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換式。由這些公式看出，任意四邊形單元符合等參元條件，它當(dāng)然是等參元。由于任意四邊形單元的位移插值函數(shù)(3-3)，在局部坐標(biāo)系下滿足形容條件，因此坐標(biāo)變換式(3-5)也就滿足相容條件，從而使得式(3-3)在整體坐標(biāo)下滿足相容條件。也就是說(shuō)，在兩相鄰任意四邊形單元公共邊上的位移是連續(xù)的，坐標(biāo)變換后仍然是連續(xù)的，兩相鄰單元公共邊上的公共點(diǎn)在坐標(biāo)變換后仍為公共點(diǎn)，決不會(huì)出現(xiàn)重疊和開(kāi)裂現(xiàn)象。利用任意四邊形等參元分析平面問(wèn)題時(shí)，有了該單元的位移插值函數(shù)式(3-3)和坐標(biāo)變換式(3-5)，就可以應(yīng)

8、用第二章已導(dǎo)出的一系列公式去求解。但是，這一系列公式都是在整體坐標(biāo)下導(dǎo)出的，其中，應(yīng)變矩陣的每個(gè)元素都是各結(jié)點(diǎn)形函數(shù)對(duì)整體坐標(biāo)進(jìn)行重積分，而任意四邊形等參元的形函數(shù)又是針對(duì)局部坐標(biāo)的，因此需要對(duì)和進(jìn)行坐標(biāo)變換。這樣，就引出了坐標(biāo)變換矩陣和變換行列式。和的偏導(dǎo)數(shù)；單元?jiǎng)偠染仃嚨?/p>