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1、矩陣論電子教程哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系矩陣的對角化,若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型第三章二次型指的是數(shù)域P上的n元二次齊次多項(xiàng)式，它的研究起源于解析幾何中化二次曲面的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式的問題．二次型不但在幾何中出現(xiàn)，而且在數(shù)學(xué)的其它分支以及物理、力學(xué)中也常常會碰到．在這一章里，我們用學(xué)過的矩陣知識來討論二次型的一些最基本的性質(zhì)．一,Hermite矩陣及基本性質(zhì)引理:設(shè),則(1)都是H-陣.§3.2Hermite二次型(2)是反H-陣.(3)如果是H-陣,那么也是H-陣,為任意正整數(shù).如果是可逆的H-陣,那么也是可逆的H-陣.如果是H-陣
2、(反H-陣),那么是反H-矩陣(H-陣),這里為虛數(shù)單位.如果都是H-陣,那么也是H-陣,這里均為實(shí)數(shù).(7)如果都是H-陣,那么也是H-陣的充分必要條件是:二,Hermite矩陣的相關(guān)定理定理1:設(shè),則(1)A酉相似與對角線都是A的特征值的對角陣(2)若,則A與矩陣合同,其中p為A的正慣性指數(shù),r-p為負(fù)慣性指數(shù)證明(2)因?yàn)锳是正規(guī)矩陣,所以存在酉矩陣U,使得:不妨假設(shè)則有:其中:我們記于是:,且:由此可以看出:H-陣A的正、負(fù)慣性指數(shù)即為A的特征值的個數(shù),因此A的慣性指數(shù)唯一確定,是合同變換下的不變量證明:必要性
3、,因?yàn)槭菙?shù),A是H-陣,所以:定理2:設(shè),則是H-陣的充分必要條件是對于任意的是實(shí)數(shù).所以:為實(shí)數(shù)充分性:因?yàn)槭菍?shí)數(shù),故即:,設(shè)則:(2)取.則由(1)知(3)取,則(1)取,則由(2)所以二,Hermite二次型(Hermite二次齊次多項(xiàng)式)稱為Hermite二次型,這里如果記:定義:由個復(fù)變量,系數(shù)為復(fù)數(shù)的二次齊次多項(xiàng)式那么上面的Hermite二次型可以記為稱為Hermite二次型對應(yīng)的矩陣,并稱的秩為Hermite二次型的秩.對于Hermite二次型作可逆的線性替換則這里在Hermite二次型中最簡單的一種是只
4、含有純的平方項(xiàng)無交叉項(xiàng)的二次型,即:我們稱這種形狀的Hermite二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的Hermite二次型.定理1:對于任意一個Hermite二次型必存在酉線性替換,可以將Hermite二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形其中是H-矩陣的特征值.證明:因?yàn)槭荋ermite矩陣,所以其中:為實(shí)數(shù)令:稱為的規(guī)范型定理2:設(shè),的正慣性指數(shù)為,則存在可逆的線性替換,使的Hermite二次型為規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型例1:寫出下面Hermite二次型的矩陣表達(dá)式,并用酉線性替換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形.解:定義:對于給定的Hermite二次形三,正定Hermite二次型與正定
5、Hermite矩陣如果對于任意一組不全為零復(fù)數(shù)都有則稱該Hermite二次形為正定的(半正定的),并稱相應(yīng)的H-矩陣為正定的(半正定的).定理3:設(shè),則是正定的充分必要條件是與正線對角陣合同.即存在可逆陣使得:其中:證明:充分性,令所以,由P的可逆性得,從而A是正定的必要性:由定理1知使得:令:因?yàn)?,,由P的可逆性得故推論:設(shè),若B與A合同,則B與A的正定性相同與正定的實(shí)二次形一樣,關(guān)于正定的Hermite二次形我們有定理4:對于給定的Hermite二次形下列敘述是等價的:是正定的.(是正定的)的特征值都是正實(shí)數(shù).與
6、單位陣合同(4)對于任何階可逆矩陣,都有:是正定的.(5)存在可逆陣,使得:請同學(xué)們考慮如何證明證明(5),因?yàn)锳是正定的,所以存在使得:判斷下列Hermite二次形的類別練習(xí)1由于又是酉矩陣,所以例2設(shè)是一個正定的H-陣,且又是酉矩陣,證明:證明:由于是一個正定H-陣,所以必存在使得這樣必有,從而例3:設(shè)是一個正定的H-陣,是一個反H-陣,證明:與的特征值實(shí)部為零.證明:設(shè)為矩陣的任意一個特征值,則由于是一個正定H-陣,所以存在可逆矩陣使得,將其代入上面的特征多項(xiàng)式有這說明也是矩陣的特征值.另一方面注意矩陣為H-反陣
7、,從而實(shí)部為零.同樣可以證明BA例4:設(shè)是一個正定的H-陣,是一個反H-陣,證明:是可逆矩陣.證明:由于是一個正定H-陣,所以存在可逆矩陣使得:這表明是可逆的.于是另一方面注意矩陣仍然為正定H-陣,而矩陣為H-反陣,由上面的例題結(jié)論可知矩陣的特征值實(shí)部為零,那么矩陣的特征值中不可能有零,從而所以,即是可逆陣(2)對于任何階可逆矩陣都有為半正定矩陣(3)的個特征值全是非負(fù)的存在階可逆矩陣使得(5)存在秩為的階矩陣使得定理5:對于給定的Hermite二次形下列敘述是等價的:(1)是半正定的定理6:設(shè)則A是正定的充分必要條件
8、是A的順次主子式大于零即:例5設(shè)是一個半正定的H-陣且證明:證明:設(shè)為的全部特征值,由于是半正定的,所以.于是有將代入即得設(shè)是一個半正定的H-陣且是一個正定的H-陣,證明:證明:由于是一個正定的H-陣,所以存在可逆矩陣使得這樣有練習(xí)2注意矩陣仍然是一個半正定的H-陣,從而所以:證明：（1）半正定H-矩陣之和仍然是半正定的;（2）半
