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1、§6.2群的定義6.2.1半群6.2.2群6.2.3群的性質6.2.1半群--半群的定義設G是一個非空集合，若·為G上的二元代數運算，且滿足結合律，則稱該代數系統(tǒng)（G，·）為半群。6.2.1半群--半群的例例.設S是一個非空集合，ρ（S）是S的冪集，∩和∪是ρ（S）上的交運算和并運算，則（ρ（S），∩），（ρ（S），∪）都為半群。例.設Z為整數集，+、-、·是數的加法、減法和乘法，則（Z，+）、（Z，·）都是半群；（Z，-）不是半群。半群的例例.設N為自然數集，規(guī)定N上的運算“⊙”如下：a⊙b=a+b+a·b，顯然，⊙為N上的二元代數運算。對N中任意三個元素a
2、，b，c，有：（a⊙b）⊙c=（a+b+a·b）⊙c=（a+b+a·b）+c+（a+b+a·b）·c=a+b+c+a·b+b·c+a·c+a·b·c，a⊙（b⊙c）=a⊙（b+c+b·c）=a+（b+c+b·c）+a·（b+c+b·c）=a+b+c+a·b+b·c+a·c+a·b·c，故，（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c）.因此，（N，⊙）為半群。設（G，·）為半群，如果滿足下面條件：(1)有壹（單位元）：G中有一個元素1，適合對于G中任意元素a，都有1·a=a·1=a;(2)有逆：對于G中任意a，都可找到G中一個元素a-1，滿足a·a-1=a-1·a=1，則稱（
3、G，·）為群。如果群G包含的元素個數有限，則稱G為有限群，否則稱G為無限群。6.2.2群--群的定義6.2.2群--群的例設Z為整數集，+、·是數的加法和乘法，則半群（Z，+）是群，稱為整數加法群。因為存在元素0，適合對于Z中任意元素a，都有0+a=a+0=a；且對于Z中任意a，都可找到Z中一個元素-a，滿足a+（-a）=（-a）+a=0。半群（Z，·）不是群。因為雖然存在單位元素1，適合對于Z中任意元素a，都有1·a=a·1=a，但除了1和-1外，其它元素均無逆元素。設Q為所有有理數組成的集合，R為所有實數組成的集合，C為所有復數組成的集合，Q*為所有非零有
4、理數組成的集合，R*為所有非零實數組成的集合，C*為所有非零復數組成的集合，+、·是數的加法和乘法，則（Q，+）、（R，+）、（C，+）都是群；（Q，·）、（R，·）、（C，·）都不是群；（Q*，·）、（R*，·）、（C*，·）都是群。6.2.2群--群的例設S是一個非空集合，ρ（S）是S的冪集，∩和∪是ρ（S）上的交運算和并運算，則半群（ρ（S），∩）不是群，單位元素:S，但除了S，其它元素都不存在逆元素；半群（ρ（S），∪）也不是群，單位元素：?，但除了?，其它元素都不存在逆元素。6.2.2群--群的例設N為自然數集，規(guī)定N上的運算“⊙”如下：a⊙b=a+
5、b+a·b。已證：（N，⊙）為半群。但（N，⊙）不是群。反證：若不然，（N，⊙）是群，則一定有單位元素，設為e，則對N中任意元素a，都有e⊙a=a，即e+a+e·a=a，因此，e=0，但0?N，矛盾。因此，（N，⊙）無單位元素，故不是群。6.2.2群--群的例例.設A是實數域上所有n階非奇異矩陣的集合，*為矩陣的乘法，則（A，*）是群。例.設S={0，1，2，……m-1}，規(guī)定S上的運算⊕如下：a⊕b=其中a，b是S中任意元素，+、-為數的加與減。則（S，⊕）是群，稱為模m的整數加法群。6.2.2群--群的例設S={a,b}，使用乘法表定義S上的運算·如下：·
6、abaabbba問（S,·）是否為群。6.2.2群--群的例G={1,-1}關于普通乘法運算是否構成一個群？G={1,-1,i,-i}關于普通乘法運算是否構成一個群？其中i=(-1)1/2.理解群的定義例.單位元是群中唯一的等冪元。證明：設(G,*)是群，其單位元是1，顯然，1是等冪元。設x是G中的等冪元，即x*x=x，則：x=1*x=（x-1*x）*x=x-1*（x*x）＝x-1*x=1（或由x*x=x，得x-1*x*x=x-1*x，即x=1）理解群的定義例.群中不可能有零元。證明：設(G,*)是群，其單位元是1，當│G│=1，它的唯一元素視為單位元。當?G
7、?>1，用反證法。假設（G，*）有零元?，則對?x?G，都有x*?=?*x=??1，即不存在x?G，使得x*?=?*x=1，亦即，?無逆元，這與G是群矛盾。理解群的定義例.群中消去律一定成立。證明：設(G,*)是群，其單位元是1，對于G中任意三個元素a，b，c，（1）若a*b=a*c，則a-1*(a*b)=a-1*(a*c)，即(a-1*a)*b=(a-1*a)*c，亦即1*b=1*c，故b=c。（2）同理可證：若b*a=c*a，則b=c理解群的定義例.①元數為1的群僅有1個②元數為2的群僅有1個*eee*eaeeaaae定理6.2.1群的單位元素是唯一的,任
8、意元素的逆也是唯一的。即,設（G，·）
