矩陣LU分解求逆詳細(xì)分析與C語言實現(xiàn).doc

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1、題目要求給定一個多維矩陣，實現(xiàn)該矩陣的求逆運算。1、理論分析矩陣的一種有效而廣泛應(yīng)用的分解方法是矩陣的LU三角分解，將一個n階矩陣A分解為一個下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積。所以首先對矩陣進行三角分解，這里采用Doolittle分解，即分解為一個下三角矩陣（對角元素為1），和一個上三角矩陣的乘積。再進行相應(yīng)的處理。所以，矩陣求逆的算法流程可表述如下：圖1矩陣求逆流程圖1)進行LU分解；2)對分解后的L陣（下三角矩陣）和U陣（上三角矩陣）進行求逆;；3)L陣的逆矩陣和U陣的逆矩陣相乘，即可求得原來矩

2、陣的逆。即：（1）1.1矩陣的LU分解若n階方陣的各階順序主子式不等于零，即：（2）則A的LU分解存在且唯一。（3）由矩陣的乘法原理,可推導(dǎo)出LU分解的迭代算法（4）（5）（6）（7）矩陣的LU分解是一個循環(huán)迭代的過程,U矩陣是從第1行迭代到第n行,而L矩陣則是從第1列迭代到第n列,且U矩陣先于L矩陣一個節(jié)拍。1.2L矩陣和U矩陣求逆首先假設(shè)下三角矩陣L的逆矩陣為，不失一般性，考慮4階的情況，利用，有：（1），，；（2）（3）（4）。從而求得下三角矩陣L的逆矩陣R式如下：，（8）上三角矩陣U的逆矩陣可以

3、由下式得到：。，（9）矩陣求逆是一個迭代的過程，依次循環(huán),迭代次,求出整個逆矩陣。其中U矩陣的循環(huán)迭代時按行順序，列倒序進行，L矩陣的循環(huán)迭代按列順序，行順序進行，直到計算出整個矩陣的所有結(jié)果為止。1.3矩陣相乘上三角矩陣U的逆矩陣u與下三角矩陣L的逆矩陣相乘,最終得到原始矩陣A的逆矩陣,完成整個矩陣求逆的過程。對于n階矩陣相乘的迭代形式可表示如下：（10）1.4實例分析例：給定一4階矩陣，通過LU分解求逆矩陣。解：算法過程為：，第一步：求LU矩陣設(shè)，通過（4）~（7）式可逐步進行矩陣L和U中元素的計算

4、，如下所示：經(jīng)迭代計算，最后得到L和U矩陣為：第二步：求L和U矩陣的逆,（1）求U矩陣的逆由式（9）可得矩陣U的逆的各元素計算如下：（2）求L矩陣的逆由（8）式可得L矩陣的逆的各元素計算如下所以得到L和U的逆矩陣為：（3）求A的逆矩陣由式（10）可計算得到矩陣A的逆，如下：由程序計算出的結(jié)果如下：2、C語言程序設(shè)計及測試2.1算法c程序?qū)崿F(xiàn)#include#include#defineN4voidmain(){floata[N][N];floatL[N][N],U[

5、N][N],out[N][N],out1[N][N];floatr[N][N],u[N][N];memset(a,0,sizeof(a));memset(L,0,sizeof(L));memset(U,0,sizeof(U));memset(r,0,sizeof(r));memset(u,0,sizeof(u));intn=N;intk,i,j;intflag=1;floats,t;////////////////////inputamatrix////printf("inputA=");for(i

6、=0;i

7、n;i++)a[i][0]=a[i][0]/a[0][0];//計算L矩陣的第1列for(k=1;k

8、}for(i=0;ij){L[i][j]=a[i][j];U[i][j]=0;}//如果i>j，說明行大于列，計算矩陣的下三角部分，得出L的值，U的//為0else{U[i][j]=a[i][j];if(i==j)L[i][j]=1;//否則如果i