《高斯求積公式》PPT課件.ppt

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1、3.4Gauss求積公式3.4.3Gauss求積公式的余項與穩(wěn)定性3.4.2常用Gauss求積公式3.4.1Gauss求積公式的基本理論3.4Gauss求積公式學(xué)習(xí)目標：掌握高斯求積公式的用法。會用高斯?勒讓德求積公式。3.4.1Gauss求積公式的基本理論在Newton-Cotes求積公式中,節(jié)點是等距的,從而限制了求積公式的代數(shù)精度.下面的討論將取消這個限制條件,使求積公式的代數(shù)精度盡可能高.首先以簡單情形論證這樣做是可行的,然后給出概念和一般理論。3.4Gauss求積公式例3.5確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。解按代數(shù)精度的概念，分別令時上式左邊與右邊

2、分別相等，有有第二式和第四式可得，結(jié)合第一式和第三式得取得于是得到求積公式它有3次代數(shù)精度，而以兩個端點為節(jié)點的梯形公式只有1次代數(shù)精度。一般地，考慮帶權(quán)求積公式（3.4.1）其中為2n+2個待定參數(shù)，適當選擇這些參數(shù)，有可能使求積公式具有2n+1次代數(shù)精度。定義3.3如果求積公式（3.4.1）具有2n+1次代數(shù)精度，則稱該公式Gauss型公式。稱　其節(jié)點為Gauss點。如果象例3.5那樣，直接利用代數(shù)精度的概念去求n=1個Gauss點和n+1個求積系數(shù)，則要聯(lián)立2n+2個非線性方程組。方程組是可解的，但當n稍大時，解析的求解就很難，數(shù)值求解非線性方程組也不容易。下面從分析G

3、auss點的特性著手研究Gauss公式的構(gòu)造問題。定理3.5對于插值求值公式(3.4.1),其節(jié)點是Gauss點的充分必要條件是多項式　　與任意不超過n次多項式P(x)帶權(quán)正交,即　?。?.4.2）證.先證必要性.設(shè)P(x)是任意次數(shù)不超過n的多項式,則的次數(shù)不超過2n+1。因此,如果是Gauss點，則求積公式（3.4.1）對于是準確成立的，即有但故（3.4.2）成立。再證充分性。設(shè)f(x)是任意個次數(shù)不超過2n+1的多項式，用除f（x），記商為P（x），余式為Q(x)，即其中P(x)和Q(x)都是次數(shù)不超過n的多項式。利用（3.4.2）有由于（3.4.1）是插值型的，它

4、對于Q(x)能準確立即注意到知，從而有由此可見，公式（3.4.1）對于一切次數(shù)不超過2n+1的多項式均能準確成立。因此，是Gauss點，定理得證。由于n+1次正交多項式與比它次數(shù)低的任意多項式正交，并且n+1次正交多項式恰好有n+1各互異的實的單根，我們有下面的推論。推論n+1次正交多項式的零點是n+1點Gauss公式的Gauss點。利用正交多項式得出Guass點后，利用插值原理可得Gauss公式的求積系數(shù)為其中是關(guān)于Gauss點的Lagrange插值基函數(shù)。例3.6確定使下列公式為Gauss公式：解我們可以像例3.5一樣,直接由代數(shù)精度的概念構(gòu)造Gauss公式。這里,我們用

5、正交多項式的零點作為Gauss點的辦法構(gòu)造該Gauss公式。先構(gòu)造區(qū)間[0，1]上權(quán)函數(shù)的正交多項式這里我們直接用正交性求解。設(shè)則由得，由得b=-8/9，從而得c=-8/63。由的零點按代數(shù)精度的概念，分別令f(x)=1，x時公式準確成立，得由此解得從而得到Gauss求積公式。得a=-2/5.由3.4.2常用Gauss求積公式1.Gauss—Legendre求積公式在區(qū)間[-1，1]上取權(quán)函數(shù)，那么相應(yīng)的正交多項式為Legendre多項式。以Legendre多項式的零點為Gauss點的求積公式為（3.4.3）稱之為Gauss-Legendre求積公式。當n=1時，二次Lege

6、ndre多項式零點為。此時，公式（3.4.3）即為例3.5所給出的公式。當n=2時，三次Legendre多項式零點為。以此為Gauss點，仿兩點Gauss-Legendre求積公式，求相應(yīng)的求積系數(shù)，可構(gòu)造出具有五次代數(shù)精度的3點Gauss-Legendre求積公式使時，，并有對于上式右邊的積分可以應(yīng)用Guss-Legendre求積公式。[]1,1-?t[]bax,?kAGuass-Legendre求積公式中的Gauss點和求積系數(shù)見表3-5。對于一般區(qū)間[a，b]上的求積，如果用Gauss-Legendre求積公式，那么務(wù)必須作變量替換表3-505430211200N例3.

7、7用Gauss-Legendre求積公式(n=1,2)計算積分解由于區(qū)間為[0,1],所以先作變量替換x=(1+t)/2,得對于n=2,由三點Gauss-Legendre公式有令對于n=1,由兩點Gauss-Legendre公式有容易求出定積分的精確值為I=e-2=0.718281828，由此可見,n=1時的實際誤差為0.0063340054,n=2時的實際誤差為0.000030049。以此為Gauss點,利用Chebyshev多項式的性質(zhì)可得相應(yīng)的求積系數(shù)為其中是關(guān)于Gauss點的Lagrange插值