近世代數(shù)課件-從“群”談起.ppt

《近世代數(shù)課件-從“群”談起.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、從“群”談起辛林10/6/2021數(shù)學與計算科學學院一、“群”的起源1、法國數(shù)學家，近代代數(shù)學的創(chuàng)始人----伽羅瓦(E.Galois，1811-1832)方程的根式求解一元一次方程:一元二次方程：一元三次方程：10/6/2021數(shù)學與計算科學學院一元三次方程經(jīng)過適當?shù)淖兞刻鎿Q后化為如下方程：三個根是:(意大利數(shù)學家卡爾達諾《大術》1545年)其中是3次單位根，10/6/2021數(shù)學與計算科學學院一元四次方程：移項：兩邊加上：得：令右邊的判別式為零，求得y的一個三次方程，求其根，代入上式，求得根x.

2、(卡爾達諾學生----費拉里發(fā)現(xiàn)，記載于《大術》中)10/6/2021數(shù)學與計算科學學院一般一元n次方程是否有類似的根式解？高斯(GaussC.F.德國數(shù)學家，1777-1855)于1799年哥丁根大學完成的博士論文證明了代數(shù)基本定理：每一個次數(shù)大于等于1的n次復系數(shù)多項式恰有n個根法國數(shù)學家：拉格朗日(1736-1813)(預解式)，德國數(shù)學家：高斯(分圓方程)挪威數(shù)學家：阿貝爾(1802-1829)10/6/2021數(shù)學與計算科學學院伽羅瓦的最主要功績：首先提出根的置換概念，每一個方程都可以與一

3、個置換群聯(lián)系，從而用群論方法徹底解決的方程根式解問題，更重要的是，群論的引入，為現(xiàn)代代數(shù)學的發(fā)展奠定了基礎。方程與群的聯(lián)系：給定多項式f(x),伽羅瓦群,其元素是的所有置換。稱為f的分裂域，10/6/2021數(shù)學與計算科學學院2、抽象群：來源較多，難以準確說明，有克萊因抽象群說，也有凱萊抽象群說等。10/6/2021數(shù)學與計算科學學院二、群的其它應用1、化學分子對稱群（分子對稱群僅有32種）研究分子的對稱性加深人們對物質(zhì)性質(zhì)的認識氨分子：(1個氮原子N和3個氫原子H)AabcNHHH10/6/202

4、1數(shù)學與計算科學學院試比較分子結構圖與正四面體圖的對稱變換區(qū)別：1)、A為不動點2)、a,b,c在一個平面上為正三角形，作它們的對稱變換3)、習慣上記氨的分子對稱群記為，由6個元素組成。10/6/2021數(shù)學與計算科學學院水分子對稱群：水分子OHH水分子對稱群習慣記為,由4個元素組成：1)、恒等變換2)、過O的軸的旋轉(zhuǎn)180o3)、分子所在平面HOH的反射4)、過O且垂直于H聯(lián)線的平面的反射。10/6/2021數(shù)學與計算科學學院2、晶體分類各種晶體中原子排列模型表明，這是一個有一定規(guī)則的多面體，可以

5、利用空間格點加以表述。例:氯化納(NaCl)晶體原子排列模型：白：鈉原子氯：氯原子10/6/2021數(shù)學與計算科學學院19世紀后半葉，科學家發(fā)現(xiàn)：1、晶體外形的全部對稱形式，稱為對稱點群，共32種。2、晶體內(nèi)部構造一切可能的對稱形式，稱為空間群，230種。晶體分類的數(shù)學理論是由俄國數(shù)學家E.C.費多羅夫應用群的結構理論于1891年創(chuàng)立。1912年德國物理學家馮.勞厄利用X射線的衍射實驗證實了晶體對稱群的存在性，為此，他獲得1914年度的諾貝爾物理獎。隨后英國科學家布拉格父子利用勞厄方法和空間群的計算

6、，給出了晶體中原子的固有排列形狀，為此獲得1915年諾貝爾物理學獎。10/6/2021數(shù)學與計算科學學院3、科學計算的重要方法例設有一塊正六邊形的瓷磚，在六個頂點上分別染成三個白色和三個黑色，問有幾種瓷磚圖案？圖示如下：計算結果：4種10/6/2021數(shù)學與計算科學學院它們是：10/6/2021數(shù)學與計算科學學院如何計算？Burnside定理：設有限群G作用于有限集合M上，對G中每一個元素g，記g的不動元的集合為Fg,則M在G作用下的軌道數(shù)是10/6/2021數(shù)學與計算科學學院4、編碼理論編碼在數(shù)字

7、通訊、計算機和數(shù)據(jù)處理等科學技術中有廣泛應用。信源編碼器信道譯碼器信宿干擾源10/6/2021數(shù)學與計算科學學院將信源的信息轉(zhuǎn)化為數(shù)字信息傳送給收信者稱為數(shù)字通信.工程上最易實現(xiàn)的是二元數(shù)字信息的傳送，二元數(shù)字信息就是有限長的二元n元數(shù)組(c1,…,cn),其中每一個ci?Z2.二元n元數(shù)組可以表達2n種不同的符號，因此英文字母、數(shù)字及有關號碼可用適當?shù)亩猲元數(shù)組表示之。為解決數(shù)字傳輸過程中可能出現(xiàn)的干擾，除采用各種技術處理外，常采用抗干擾編碼的方法。10/6/2021數(shù)學與計算科學學院設Z2n是

8、信息源的原始數(shù)字信息集合。取自然數(shù)m>n,作單射E:Z2nZ2m.ImE稱為碼，ImE中元素稱為碼字，m稱為碼長，碼字的分量稱為碼元。顯然Z2m是域Z2上的向量空間，如果ImE是Z2m的子空間,稱ImE是二元線性碼，由于(Z2m,+)的子群與子空間一致，因此二元線性碼也稱為群碼。特別地，當對某些特殊的編碼函數(shù)E:Z2nZ2m,可以使E成為群同態(tài)。比如，E:Z2nZ2m使E(X)=XG,其中G是一個n?m矩陣。數(shù)字通信群的問題10/6/2021數(shù)學與計算科學學院三、高中