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《求解極大相關(guān)問題的對偶方法.pdf》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第45卷第8期2015年8月中國海洋大學(xué)學(xué)報PERIoDICALOF0CEANUNIVERSITYOFCHINA45(8)：128～132Aug．，2015求解極大相關(guān)問題的對偶方法+李美然，劉新國(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100)摘要：多組變量間的極大相關(guān)問題(MCP)有重要統(tǒng)計應(yīng)用。目前已有的求解MCP的算法都不能保證獲得MCP的全局解。本文通過求解MCP的對偶問題，給出了一種改進的Lagrange對偶方法。最后，數(shù)值實驗結(jié)果說明了新方法能提高收斂到全局解的可能性。關(guān)鍵詞：極大相關(guān)問題；
2、多元特征值問題；Lagrange對偶；強對偶；全局解；收斂性中圖法分類號：0212．4文獻標志碼：A文章編號：1672—5174(2015)08—128一05DOI：10．16441／j．cnki．hdxb．201303230引舌多組變量的極大相關(guān)問題(Maximalcorrelationproblem，MCP)是經(jīng)典的典型相關(guān)分析(Canonicalcor—relationanalysis，CCA)[卜2]的自然推廣，已被廣泛用于聚類分析、數(shù)據(jù)分析、模式識別、主成份分析以及動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析等問題中。多
3、組變量最大相關(guān)問題表述為下述最優(yōu)化問題：給定實對稱正定矩陣A∈R．X”和正整數(shù)集P一{行。，咒。，?，，z。}，并且滿足∑蘭，n。一，z，矩陣A分塊如下：A==A11A21●：A。1A12A22●：A。2A1。A2。A一這里，Ai∈彤t蜘t，求解{max!}亍，缸。㈩St【．．x∈邑。?其中邑一{z一(西，?，《)T∈R：乃∈船，II乃112—1)。使用Lagrange乘子法可知，z∈己為MCP(1)的解的必要條件為：存在實數(shù)A1，．一，A。，使得：Ax—Ax：A—diag(21J。，，?，A。I‰)。(2
4、)式(2)稱為多元特征值問題(MEP)[3I。若(以，z)滿足(2)，則稱(A，z)為MEP(2)的一個解。Chu和Watterson[引。證明如果A有"個不同特征值，則MEP(2)恰有I
5、‘二(2n。)個解。對于MEP(2)已有一些有效算法。Horst方法(t／z叫冪法)[4]是較早提出的一種迭代法，Hu[5]及Chu和Watterson[a]論證了Horst方法的收斂性。Sun[61把求解線性代數(shù)方程組的SOR方法的基本思想用于改進Horst方法，提出了P_SOR方法，并分析了收斂性。秦曉偉[7]對Hu
6、和Sun<5書]的結(jié)果給出了改進。由于MEP(2)僅是MCP(1)的解滿足的必要條件，因此，Horst方法和P-SOR無法保證獲得MCP(1)的全局最大點。Hanafi和TenBerge[8]證明了下述結(jié)果：設(shè)(以，z)為MEP(2)的一個解，如果A—A半正定，則z為MCP(1)的全局解。他們還證明了若m一2或者m≥3但A為正矩陣，則前述充分條件也為必要條件；對于一般的A，當優(yōu)≥3時，前述充分條件不是必要的。最近，Zhang和Liao[9]及Grze96rski[10]獨立地提出了求解MCP(1)的交替變量
7、法(AVM)(文獻[10]中稱之為交替投影法，APM)，數(shù)值實驗結(jié)果表明，AVM比Horst方法及P—SOR方法更有可能獲得MCP(1)的全局解。Liu和Wang[11]進一步分析了AVM方法，結(jié)果表明：AVM有不收斂情形(盡管很少見)，收斂時未必收斂于MCP(1)的全局解，與Horst方法及P-SOR方法類似之處是：收斂結(jié)果依賴于初始點的選擇。注意到(1)是一類具約束的非線性最優(yōu)化問題。AVM方法是常用的坐標下降法[12q3]的自然推廣。自然地，可以考慮應(yīng)用其它的最優(yōu)化方法求解MCP(1)。本文分析求解(
8、1)的對偶方法。本文以下內(nèi)容組織如下。在第二節(jié)，給出(1)的對偶形式，并使用對偶方法求解(1)。由于m≥3時(1)與其Lagrange對偶問題之間不是強對偶的，因此，給出了一種改進的對偶方法；最后，*基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(11371333)資助收稿日期：2013—10—12；修訂日期：2014—05—10作者簡介：李美然(1988一)，女，碩士生。E-mail：limeiran5211314@126．com8期李美然，等：求解極大相關(guān)問題的對偶方法關(guān)于對偶方法做了大量的數(shù)值實驗，結(jié)果表明，對偶方法
9、能有效地獲得MCP的全局解。1對偶方法首先，將給出MCP(1)的Lagrange對偶問題。注意MCP(1)等價于下述最優(yōu)化問題(見Sun[63)：』max，觸(3)【S．t．xE力。。繇一{z一(32T，?，矗)T∈R：xjER"J，
10、
11、xjll2≤1)。易知，(3)的Lagrange對偶問題為：min∑A，<’一1(4)Ls．t．A—A≥0。這里，A—diag(2lJl'．一，A。J。)，若令F，一diag(0
