階二維自然數(shù)表中的概率問(wèn)題.doc

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1、可在6階二維自然數(shù)對(duì)表中操作的概率問(wèn)題蘆志新<烏魯木齊市高級(jí)中學(xué)郵編：830001）概率為高中數(shù)學(xué)新課程的必修內(nèi)容，同時(shí)也是近年來(lái)高考的熱點(diǎn)內(nèi)容和亮點(diǎn)。而投骰子的游戲是東西方各民族中最廣為流傳的古老游戲之一，因此，投骰子的概率是人們最早研究的古典概型之一。筆者對(duì)投骰子的概率問(wèn)題也產(chǎn)生了濃厚的興趣并進(jìn)行了較深入的相關(guān)探究，發(fā)現(xiàn)6階自然數(shù)對(duì)表對(duì)于解決“兩次投骰子的概率問(wèn)題”有著非常重要的作用。b5E2RGbCAP一、對(duì)人教版課本中投骰子問(wèn)題中一張表格的質(zhì)疑12345667891011125678910114567891034567892345678123

2、4567人教版高中課本《數(shù)學(xué)》第二冊(cè)<下B）中的第128頁(yè)的一道投骰子問(wèn)題為：將骰子先后拋擲2次，計(jì)算：⑴一共有123456111121314151622122232425263313233343536441424344454655152535455566616263646566多少種不同結(jié)果？⑵其中向上的數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？⑶向上的數(shù)之和是5的概率是多少？其解答運(yùn)用了分步計(jì)數(shù)原理和十分不妥當(dāng)?shù)亩S數(shù)表<如右圖所示，注：在人教版新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》必修3第115頁(yè)中繼續(xù)沿用了此表）。筆者認(rèn)為：其一，此表只反映了問(wèn)題的結(jié)果，而沒(méi)有反映出投骰子

3、的情況分析過(guò)程，這與新課程理念相違背；其二，此表不具有通用性，不宜將該問(wèn)題進(jìn)行變式訓(xùn)練，不宜使解法更具一般性；其三，不用分步計(jì)數(shù)原理照樣能“數(shù)出”總結(jié)果數(shù)。筆者在教案過(guò)程中采用下表——一張能反映出投骰子概型本質(zhì)的6階自然數(shù)對(duì)表<如右下圖）。表的第一列表示投骰子第一次的可能結(jié)果數(shù)，第一行表示投骰子第二次的可能結(jié)果數(shù)，對(duì)應(yīng)行列交叉格表示完成“投骰子兩次”實(shí)驗(yàn)一次所發(fā)生的結(jié)果點(diǎn)數(shù)對(duì)，很容易知道，總結(jié)果數(shù)為36種，按照題意，畫(huà)出矩形虛框知，向上的數(shù)之和是5的結(jié)果直接容易數(shù)出只有4種，故其概率為。這樣做的實(shí)踐表明：一方面，6階自然數(shù)對(duì)表能直接給出完成“投骰子兩

4、次”實(shí)驗(yàn)的真正本質(zhì)的分析過(guò)程，而且針對(duì)完成“投骰子兩次”實(shí)驗(yàn)這一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，用6階自然數(shù)對(duì)表顯得操作方便，學(xué)生樂(lè)意接受；另一方面，易于變式訓(xùn)練，使解決此類(lèi)問(wèn)題的方法更具通性。p1EanqFDPw變式訓(xùn)練：將骰子先后拋擲2次，設(shè)其兩次向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值為，計(jì)算：⑴時(shí)的概率；⑵時(shí)的概率。<如上圖，畫(huà)一條長(zhǎng)實(shí)線，從11到66知：，畫(huà)兩條短實(shí)線，從41到63與14到36知：。由此，我們可以體會(huì)到：“兩次投骰子的概率問(wèn)題”的分析過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是在對(duì)6階自然數(shù)對(duì)表的“操作”過(guò)程，即如何按問(wèn)題的限制條件去“數(shù)”6階自然數(shù)對(duì)表中符合要求的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)的過(guò)程。同時(shí)也會(huì)發(fā)

5、現(xiàn)，在這個(gè)數(shù)的過(guò)程中無(wú)須繁雜的運(yùn)算和較高的邏輯推理思維，這種操作很直觀，體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)的思想和方法，一般學(xué)生都能容易接受與掌握。）DXDiTa9E3d二、6階自然數(shù)對(duì)表在解決高考相關(guān)投骰子概率問(wèn)題中的重要作用由于“投骰子兩次”實(shí)驗(yàn)中的點(diǎn)數(shù)對(duì)是一自然數(shù)對(duì)，可作為平面點(diǎn)坐標(biāo)、平面向量坐標(biāo)、函數(shù)解讀式中的項(xiàng)系數(shù)、方程中的項(xiàng)系數(shù)以及數(shù)列通項(xiàng)的系數(shù)，等等。問(wèn)題的編制者5/5可能基于以上理解，很容易將投兩次骰子的點(diǎn)數(shù)與函數(shù)、方程、向量、幾何等內(nèi)容相結(jié)合，使投骰子概率問(wèn)題上產(chǎn)生出豐富多彩的內(nèi)涵，把數(shù)學(xué)問(wèn)題的情境變得別致而有趣，這也使得投骰子的概率問(wèn)題在近年的高考<包括

6、高考模擬）中頻頻出現(xiàn)。因此，筆者認(rèn)為，6階自然數(shù)對(duì)表的靈活使用將會(huì)在解決此類(lèi)問(wèn)題中一定能發(fā)揮其應(yīng)有的積極作用。RTCrpUDGiT123456111121314151622122232425263313233343536441424344454655152535455566616263646566例1、連續(xù)擲兩枚骰子，觀察它們分別向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，設(shè)兩枚骰子出現(xiàn)的最大點(diǎn)數(shù)為，⑴求的概率及的概率；⑵求的分布列與的數(shù)學(xué)期望。5PCzVD7HxA解讀：⑴運(yùn)用6階自然數(shù)對(duì)表<如右圖）畫(huà)出相應(yīng)的虛線與粗實(shí)線，知：，；⑵運(yùn)用6階自然數(shù)對(duì)表<如右圖）寫(xiě)出的分布列：1

7、23456由此知，的數(shù)學(xué)期望為：。評(píng)述：在6階自然數(shù)對(duì)表中，很容易“數(shù)出”符合條件的結(jié)果數(shù)，依此就能方便地求出相應(yīng)的概率、分布列以及數(shù)學(xué)期望。jLBHrnAILg123456111121314151622122232425263313233343536441424344454655152535455566616263646566例2、<1999年上海高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷）若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)作為點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率為。解讀：由圓的方程知：或而且與不能同時(shí)出現(xiàn)，且每一個(gè)這樣的點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)，運(yùn)用6階自然數(shù)對(duì)表畫(huà)出相應(yīng)的實(shí)線<如右圖），知其概率為

8、：。xHAQX74J0X評(píng)述：“投骰子兩次”實(shí)驗(yàn)中的點(diǎn)數(shù)對(duì)恰是平面上的點(diǎn)坐標(biāo)，可在6階自然數(shù)對(duì)表中畫(huà)出相應(yīng)的