級(jí)數(shù)運(yùn)算中幾個(gè)小技巧.doc

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1、級(jí)數(shù)運(yùn)算中的幾個(gè)小技巧Pb07210229詹金春級(jí)數(shù)含有無(wú)窮多項(xiàng)，它的運(yùn)算要講究方法，否則運(yùn)算量將會(huì)令我們望而卻步。下面我舉幾個(gè)例子講述一些小技巧。例1將函數(shù)f(x)=exsinx展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)。解：方法一因?yàn)閑x=，,Sinx=xn，應(yīng)用冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算得exsinx==(計(jì)算過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，數(shù)學(xué)公式輸入有難度，這里從略)=）方法二由歐拉公式eix=cosx+isinx，有sinx=（eix-e-ix）/2i所以exsinx=ex（eix-e-ix）/2i=（e(i+1)x-e（1-i）x）/2i=1/2iｘｎ　　?。剑┍容^兩種方法，注意到sinx=（eix-e-i

2、x）/2i　就可以明顯減少計(jì)算量。例２　設(shè)ｆ（ｘ）＝.求fn（0）解由函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的唯一性，我們可以利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)求導(dǎo)數(shù)在指定的各階導(dǎo)數(shù)值。f’(x)=2x/(1+x4)=2x=兩邊從0到x積分得==所以f(x)=f(0)+=+因此f(4n+2)(0)=(4n+2)!(-1)n/(2n+1),n=0,1,2,其他的f(n)(0)=0本題若直接求，明顯會(huì)比上述方法難算。例3設(shè)f(x)=x4/(1+x3),求f(10)(0).解：因?yàn)?/(1+x)=,-1

3、=2時(shí)，f(10)(0)=10！總結(jié)上面三題用到的小技巧如下：1．注意到sinx=（eix-e-ix）/2i，可將sinx用ex形式展開(kāi)。2．由函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的唯一性，且級(jí)數(shù)為多項(xiàng)式時(shí)，各階導(dǎo)數(shù)容易求，我們可以利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)求導(dǎo)數(shù)在指定的各階導(dǎo)數(shù)值。3．將x4單獨(dú)提出來(lái)，不參與級(jí)數(shù)展開(kāi)，利用基本函數(shù)的泰勒展開(kāi)。這些只是眾多小技巧中的一小部分，我們應(yīng)該做學(xué)習(xí)上的有心人，不斷積累這些小技巧，就可以教簡(jiǎn)潔地解決許多題目。