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1、6.1循環(huán)碼的多項式描述6.2循環(huán)碼的生成多項式6.3系統(tǒng)循環(huán)碼6.4多項式運算電路6.5循環(huán)碼的編碼電路6.6循環(huán)碼的譯碼6.7循環(huán)漢明碼6.8縮短循環(huán)碼第六講循環(huán)碼9/20/20211(1)循環(huán)碼的性質(zhì)循環(huán)碼是線性分組碼的一個重要子類；由于循環(huán)碼具有優(yōu)良的代數(shù)結(jié)構(gòu)，使得可用簡單的反饋移位寄存器實現(xiàn)編碼和伴隨式計算，并可使用多種簡單而有效的譯碼方法；循環(huán)碼是研究最深入、理論最成熟、應(yīng)用最廣泛的一類線性分組碼。6.1循環(huán)碼的多項式描述9/20/20212(2)循環(huán)碼的定義循環(huán)碼：如果(n,k)線性分組碼的任意碼矢C=(Cn－1,Cn－2,…,C0)的i次循環(huán)移位，所得
2、矢量C(i)=(Cn－1－i,Cn－2－i,…,C0,Cn－1,…,Cn－i)仍是一個碼矢，則稱此線性碼為(n,k)循環(huán)碼。6.1循環(huán)碼的多項式描述9/20/20213(3)碼多項式碼多項式：為了運算的方便，將碼矢的各分量作為多項式的系數(shù)，把碼矢表示成多項式，稱為碼多項式。其一般表示式為C(x)=Cn－1xn－1+Cn－2xn－2+…+C0)碼多項式i次循環(huán)移位的表示方法記碼多項式C(x)的一次左移循環(huán)為C(1)(x)，i次左移循環(huán)為C(i)(x)6.1循環(huán)碼的多項式描述9/20/20214碼多項式的模(xn+1)運算0和1兩個元素模2運算下構(gòu)成域。6.1循環(huán)碼的多項
3、式描述9/20/20215若p為素數(shù)，則整數(shù)全體在模p運算下的剩余類全體在模p下構(gòu)成域。以p=3為模的剩余類全體模2運算的規(guī)則如下：6.1循環(huán)碼的多項式描述9/20/20216碼矢C循環(huán)i次所得碼矢的碼多項式C(x)乘以x，再除以(xn+1)，得6.1循環(huán)碼的多項式描述9/20/20217上式表明：碼矢循環(huán)一次的碼多項式C(1)(x)是原碼多項式C(x)乘以x除以(xn+1)的余式。寫作因此，C(x)的i次循環(huán)移位C(i)(x)是C(x)乘以xi除以(xn+1)的余式，即結(jié)論：循環(huán)碼的碼矢的i次循環(huán)移位等效于將碼多項式乘xi后再模(xn+1)。6.1循環(huán)碼的多項式描述
4、9/20/20218(4)舉例：(7,3)循環(huán)碼，可由任一個碼矢，比如(0011101)經(jīng)過循環(huán)移位，得到其它6個非0碼矢；也可由相應(yīng)的碼多項式(x4+x3+x2+1)，乘以xi(i=1,2,…,6)，再模(x7+1)運算得到其它6個非0碼多項式。移位過程和相應(yīng)的多項式運算如表6.1所示。6.1循環(huán)碼的多項式描述9/20/202196.1循環(huán)碼的多項式描述9/20/202110(1)循環(huán)碼的生成矩陣根據(jù)循環(huán)碼的循環(huán)特性，可由一個碼字的循環(huán)移位得到其它的非0碼字。在(n,k)循環(huán)碼的2k個碼字中，取前(k－1)位皆為0的碼字g(x)（其次數(shù)r=n－k），再經(jīng)(k－1)次
5、循環(huán)移位，共得到k個碼字：g(x),xg(x),…,xk－1g(x)6.2循環(huán)碼的生成多項式這k個碼字顯然是相互獨立的，可作為碼生成矩陣的k行，于是得到循環(huán)碼的生成矩陣G(x)9/20/202111(2)循環(huán)碼的生成多項式碼的生成矩陣一旦確定，碼就確定了；這就說明：(n,k)循環(huán)碼可由它的一個(n－k)次碼多項式g(x)來確定；所以說g(x)生成了(n,k)循環(huán)碼，因此稱g(x)為碼的生成多項式。6.2循環(huán)碼的生成多項式9/20/202112(3)生成多項式和碼多項式的關(guān)系定理6.1：在(n,k)循環(huán)碼中，生成多項式g(x)是惟一的(n－k)次碼多項式，且次數(shù)是最低的
6、。[證明]：先證在(n,k)循環(huán)碼系統(tǒng)中存在(n－k)次碼多項式。因為在2k個信息組中，有一個信息組為，它的對應(yīng)碼多項式的次數(shù)為n－1－(k－1)=n－k(n－k)次碼多項式是最低次碼多項式。若g(x)不是最低次碼多項式，那么設(shè)更低次的碼多項式為g’(x)，其次數(shù)為(n－k－1)。g’(x)的前面k位為0，即k個信息位全為0，而監(jiān)督位不為0，這對線性碼來說是不可能的，因此g(x)是最低次的碼多項式，即gn－k必為1。6.2循環(huán)碼的生成多項式9/20/202113g0=1，否則經(jīng)(n－1)次左移循環(huán)后將得到低于(n－k)次的碼多項式。g(x)是惟一的(n－k)次多項式。
7、如果存在另一個(n－k)次碼多項式，設(shè)為g’’(x)，根據(jù)線性碼的封閉性，則g(x)+g’’(x)也必為一個碼多項式。由于g(x)和g’’(x)的次數(shù)相同，它們的和式的(n－k)次項系數(shù)為0，那么g(x)+g’’(x)是一個次數(shù)低于(n－k)次的碼多項式，前面已證明g(x)的次數(shù)是最低的，因此g’’(x)不能存在，所以g(x)是惟一的(n－k)次碼多項式。6.2循環(huán)碼的生成多項式9/20/202114定理6.2：在(n,k)循環(huán)碼中，每個碼多項式C(x)都是g(x)的倍式；而每個為g(x)倍式且次數(shù)小于或等于(n－1)的多項式，必是一個碼多項式。[證
