圓的切線的證明方法.doc

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1、圓的切線的證明方法　　天津四中楊建成　　平面內(nèi)直線和圓存在著三種位置關(guān)系，即直線和圓相離、直線和圓相切、直線和圓相交，這三種位置關(guān)系中最重要的是直線和圓相切。那么怎樣證明直線和圓相切呢？證明直線是圓的切線大體上有三種方法：　?、藕蛨A只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；　?、频綀A心的距離等于半徑的直線是圓的切線；　　⑶經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線?！　∑渲孝攀乔芯€的定義，它是從直線與圓的交點(diǎn)的角度來判斷直線和圓的位置關(guān)系；⑵是從圓心到直線的距離d與圓的半徑r的數(shù)量關(guān)系的角度來判斷；⑶是根據(jù)切線的判定定理進(jìn)行判斷。⑵和⑶都是由⑴推演出來的。　　在幾何證明中，常用的是

2、最后一種方法，具體的證法有兩種：①當(dāng)直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連結(jié)起來，證明直線垂直于這條半徑，簡稱為“連半徑，證垂直”；②當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒有明確時(shí)，可過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡稱為“作垂直，證半徑”。　　例1.如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD，求證CD是⊙O的切線?！　。鄯治觯荩阂蛑本€CD與⊙O有公共點(diǎn)D，故應(yīng)采用“連半徑，證垂直”的方法?！　。圩C明］：連結(jié)OD　　∵OC∥AD∴∠COB=∠DAO，∠COD=∠ADO　　∵OA=OD∴∠DAO=∠ADO　　∴∠COB=∠COD　　在△DOC和

3、△BOC中　　∵OD=OB，∠COD=∠COB12　　OC=OC　　∴△DOC≌△BOC　　∴∠CDO=∠CBO　　∵AB是⊙O的直徑，BC是切線　　∴∠CBO=90°　　∴∠CDO=90°　　∵OD是⊙O的半徑　　∴CD是⊙O的切線　　例2.如圖，已知兩個(gè)同心圓O中，大圓的弦AB、CD相等，且AB與小圓相切于點(diǎn)E，求證：CD是小圓的切線。　?。鄯治觯荩阂蛑本€CD與⊙O無公共點(diǎn)，故應(yīng)采用“作垂直，證半徑”的方法?！　。圩C明］：連結(jié)OE，過O點(diǎn)作OF⊥CD于F　　∵AB與小圓相切于點(diǎn)E　　∴OE⊥AB∴AE=BE，CF=DF　　∵AB=CD∴AE=CF　　在Rt△AEO和Rt△C

4、FO中　　∵OA=OC，AE=CF　　∴Rt△AEO≌Rt△CFO　　∴OE=OF　　∴CD是小圓的切線　　例3.如圖，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=1/2AB，E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，求證：以EF為直徑的⊙O與AB相切?！　　　　　　　　。鄯治觯荩阂蛑本€AB與⊙O無公共點(diǎn)，故應(yīng)采用“作垂直，證半徑”的方法?！　。圩C明］：過O點(diǎn)作OH⊥AB于H　　∵E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)　　∴EF∥AB，且EF=1/2AB　　∴G點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，OH=GD=1/2CD12　　∵CD=1/2AB∴EF=CD　　∴OH=1/2EF　　∴AB為⊙O的切線　　例4.如圖，已知

5、AB是⊙O的直徑，線段AF與⊙O相切于點(diǎn)A，D是AF的中點(diǎn)，BF交⊙O于E點(diǎn)，過B點(diǎn)的切線與DE的延長線交于C點(diǎn)，求證：CD與⊙O相切?！　。鄯治觯荩阂蛑本€CD與⊙O有公共點(diǎn)E，故應(yīng)采用“連半徑，證垂直”的方法。　?。圩C法一］：如圖4-1，連結(jié)OE、AE　　∵AB是⊙O的直徑　　∴AE⊥BF　　∵D是AF的中點(diǎn)　　∴DA=DF=DE　　∴∠DEA=∠DAE　　∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA　　∵AB是⊙O的直徑，AF是⊙O的切線　　∴∠DAE+∠OAE=90°　　∴∠DEA+∠OEA=90°　　∵OE是⊙O的半徑　　∴CD與⊙O相切于E　?。圩C法二］：如圖4-2，連結(jié)OE、A

6、E、OD　　∵AB是⊙O的直徑　　∴AE⊥BF　　∵D是AF的中點(diǎn)　　∴DA=DE=1/2AF　　在△OED和△OAD中　　∵DE=DA，OD=OD，OE=OA　　∴在△OED≌△OAD　　∴∠OED=∠OAD　　∵AB是⊙O的直徑，AF是⊙O的切線∴∠OAD=90°12　　∴∠OED=90°　　∵OE是⊙O的半徑　　∴CD與⊙O相切于E　?。埸c(diǎn)評］：證法一是利用了等式的性質(zhì)證明∠OED=∠OAD=90°,證法二是利用了全等三角形的對應(yīng)角相等證明∠OED=∠OAD=90°　　例5.如圖，已知直角梯形ABCD中∠A=∠B=90°，AD∥BC，E為AB上一點(diǎn)，ED平分∠ADC，CE

7、平分∠BCD，試問⑴以AB為直徑的圓與邊CD有怎樣的位置關(guān)系？并證明。⑵以CD為直徑的圓與AB又有怎樣的位置關(guān)系？并證明。　?。鄯治觯荩骸　、湃B的中點(diǎn)E，過E點(diǎn)作EF⊥CD于F，如果EF=AE，那么以AB為直徑的圓與邊CD相切，這就是“作垂直，證半徑”?！　、频淖C明方法是在⑴得到AE=BE的基礎(chǔ)上,作梯形的中位線EG，即要證明EG為圓的半徑又要證明EG⊥AB。　?。圩C明］：⑴以AB為直徑的圓與邊CD相切?！　∪鐖D5-1，過E點(diǎn)作EF⊥CD于F　　∵DE平分∠ADC，DA⊥AE，EF⊥CD