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1、新縣高中高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科導(dǎo)學(xué)案（15）編、審：陶磊使用：9、10班學(xué)生姓名：班級：2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)（三）-------橢圓離心率的解法橢圓的幾何性質(zhì)中，對于離心率和離心率的取值范圍的處理，同學(xué)們很茫然，沒有方向性。題型變化很多，難以駕馭。以下，總結(jié)一些處理問題的常規(guī)思路，以幫助同學(xué)們理解和解決問題。一、運(yùn)用幾何圖形中線段的幾何意義基礎(chǔ)題目：如圖，O為橢圓的中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線L交OA于B，P、Q在橢圓上，PD⊥L于D，QF⊥Ao于F,設(shè)橢圓的離心率為e，則①e=②e=③e=④e=⑤e=上述正確的是評：AQP為橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的第二定義得，①②④?！撸麬O｜=a,｜OF｜
2、=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜=∴有③。BAF2F1題目1：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1、F2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e=思路：A點(diǎn)在橢圓外，找a、b、c的關(guān)系應(yīng)借助橢圓，所以取AF2的中點(diǎn)B，連接BF1,把已知條件放在橢圓內(nèi)，構(gòu)造△F1BF2分析三角形的各邊長及關(guān)系。解：∵｜F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜=cc+c=2a∴e==-1變形1：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2F2F22使△OPF1為正三角形，求橢圓離心率解：連接PF2,則｜OF
3、2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°圖形如上圖，e=-1二、運(yùn)用正余弦定理解決圖形中的三角形FBAO題目2：橢圓+=1(a>b>0)，A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，∠ABF=90°，求e解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0兩邊同除以a2e2+e-1=0e=e=(舍去)變形：橢圓+=1(a>b>0)，e=,A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，求∠ABF點(diǎn)評：此題是上一題的條件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問題。答案：90°4引申：此類e=的橢圓為優(yōu)美橢圓。性質(zhì)
4、：1、∠ABF=90°2、假設(shè)下端點(diǎn)為B1,則ABFB1四點(diǎn)共圓。3、焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線之間的距離等于長半軸長。題目3：橢圓+=1(a>b>0)，過左焦點(diǎn)F1且傾斜角為60°的直線交橢圓與AB兩點(diǎn)，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e解：設(shè)｜BF1｜=m則｜AF2｜=2a-am｜BF2｜=2a-m在△AF1F2及△BF1F2中，由余弦定理得：兩式相除=e=題目4：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1（-c，0）、F2(c,0)，P是以｜F1F2｜為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且∠PF1F2=5∠PF2F1,求e解：由正弦定理：==根據(jù)和比性質(zhì)：=變形得：===e∠PF1F2=75°∠PF2F1=15
5、°e==點(diǎn)評：在焦點(diǎn)三角形中，使用第一定義和正弦定理可知e=變形1：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1（-c，0）、F2(c,0)，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，求e的取值范圍解：設(shè)∠F1F2P=α，則∠F2F1P=120°-αe===≥∴≤e<1三、以直線與橢圓的位置關(guān)系為背景，用設(shè)而不求的方法找e所符合的關(guān)系式B(X2,Y2)A(X1,Y1)O題目5：橢圓+=1(a>b>0)，斜率為1，且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，+與=(3,-1)共線，求e法一：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2=y1+y2=
6、-2c=+=(x1+x2,y1+y2)與（3，-1）共線，則4-（x1+x2）=3(y1+y2)既a2=3b2e=法二：設(shè)AB的中點(diǎn)N，則2=+①-②得：=-∴1=-(-3)既a2=3b2e=三、由圖形中暗含的不等關(guān)系，求離心率的取值范圍MPF2F1O題目6：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1（-c，0）、F2(c,0)，P為右準(zhǔn)線L上一點(diǎn)，F(xiàn)1P的垂直平分線恰過F2點(diǎn)，求e的取值范圍分析：思路1,如圖F1P與F2M垂直，根據(jù)向量垂直，找a、b、c的不等關(guān)系。思路2：根據(jù)圖形中的邊長之間的不等關(guān)系，求e解法一：F1（-c，0）F2(c,0)P(,y0)M(,)既(,)則1=-(+c,y0
7、)2=-(-c,)1·2=0(+c,y0)·(-c,)=0(+c)·(-c)+=0a2-3c2≤0∴≤e<1解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c｜PF2｜≥-c則2c≥-c3c≥3c2≥a2則≤e<1課時(shí)作業(yè)：BAF2F1PO1、橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1、F2，AB為橢圓的頂點(diǎn)，2、P是橢圓上一點(diǎn)，且PF1⊥X軸，PF2∥AB,求橢圓離心率解：∵｜PF1｜=｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA
