數(shù)列子數(shù)列探究.doc

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1、等差數(shù)列中等比數(shù)列子數(shù)列的探究一、【問(wèn)題提出】從數(shù)列中取出部分項(xiàng),并將它們按原來(lái)的順序組成一個(gè)數(shù)列,稱之為數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列.等差數(shù)列和等比數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考說(shuō)明中的兩個(gè)C級(jí)考點(diǎn),其難度水平不言而喻.通過(guò)對(duì)數(shù)列考題的梳理，發(fā)現(xiàn)在等差數(shù)列中探究等比子數(shù)列是?？紗?wèn)題之一.本文力求給出解決該類問(wèn)題的一般思路和方法,供大家參考.二、【問(wèn)題解決】例1等差數(shù)列的通項(xiàng)為,數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)（按原來(lái)的順序）成等比數(shù)列？數(shù)列中是否存在無(wú)窮等比數(shù)列子數(shù)列？【解題分析】寫(xiě)出數(shù)列的一些項(xiàng)：1，4，7，10，13，16，19，……，觀察可以發(fā)現(xiàn)，其中1，4，16成等比數(shù)列，即,,

2、成等比數(shù)列，且公比為4.是否存在無(wú)窮等比數(shù)列子數(shù)列,只要判斷在上面的等比數(shù)列，即首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列中任意一項(xiàng)都是等差數(shù)列的項(xiàng).【解法】由得,,，所以存在不同的三項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比為4.下證等比數(shù)列的第4項(xiàng)也是等差數(shù)列中的項(xiàng)，記是數(shù)列的第四項(xiàng)，則，而，所以，同理，可以算得等比數(shù)列的第五項(xiàng)，其中，……，依次可以得到下一項(xiàng)，從而一定存在無(wú)窮等比數(shù)列子數(shù)列.【點(diǎn)評(píng)】1.探究數(shù)列問(wèn)題常常從寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)觀察開(kāi)始;2.說(shuō)明等差數(shù)列中存在無(wú)窮等比數(shù)列子數(shù)列是通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列的后一項(xiàng),來(lái)說(shuō)明該項(xiàng)一定在等差數(shù)列中,其中用到比例的性質(zhì),也可以從等比數(shù)列的通項(xiàng)入手,說(shuō)明等比數(shù)列中的

3、任意一項(xiàng)都在等差數(shù)列中,即由等比數(shù)列的第項(xiàng)是等差數(shù)列的第項(xiàng)列出等式，說(shuō)明用表示出的一定是正整數(shù)，說(shuō)明過(guò)程中需要用二項(xiàng)式定理.3.從構(gòu)造等比數(shù)列的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn),只要等差數(shù)列中存在兩項(xiàng),其后項(xiàng)與前項(xiàng)的比為整數(shù),則一定存在等比數(shù)列子數(shù)列.結(jié)論:一個(gè)公差非零的無(wú)窮等差數(shù)列中,如果存在兩項(xiàng)，(),使為正整數(shù)，則該數(shù)列中一定存在無(wú)窮等比數(shù)列子數(shù)列.例2等差數(shù)列的通項(xiàng)為,試確定等比數(shù)列子數(shù)列公比的最小值.【解題分析】數(shù)列的每一項(xiàng)都是正整數(shù)，且是遞增數(shù)列，所以先確定其等比數(shù)列子數(shù)列的公比一定是不小于2的整數(shù)，再運(yùn)用子數(shù)列中項(xiàng)的雙重性建立等量關(guān)系，確定公比的最小值.【解法】由知，，，記其等比

4、數(shù)列子數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，則且，否則，一定存在使.由是等差數(shù)列的第項(xiàng)，同時(shí)又是等比數(shù)列的第項(xiàng)，得，，所以，由于不是3的倍數(shù),所以當(dāng)時(shí)必是3的倍數(shù).當(dāng)時(shí)，，其中的公約數(shù)為1，從而必是3的倍數(shù)，所以公比的最小值為4.【點(diǎn)評(píng)】1.等差數(shù)列中的等比數(shù)列子數(shù)列問(wèn)題，特別要關(guān)注子數(shù)列的項(xiàng)在不同數(shù)列中的表示；2.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，用到了等差等比數(shù)列的基本性質(zhì)，還涉及整除、因式分解等數(shù)論相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，本題中等差數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，易得等比數(shù)列子數(shù)列的公比為正整數(shù)，實(shí)際上，一般等差數(shù)列若存在等比數(shù)列子數(shù)列，其公比也是正整數(shù).結(jié)論：等差數(shù)列的公差非零，如果存在等比數(shù)列子數(shù)列，則其公比是大于

5、1的整數(shù).例3在等差數(shù)列中是否存在無(wú)窮等比數(shù)列子數(shù)列？【解法分析】先從數(shù)列中存在等比數(shù)列子數(shù)列入手,探究應(yīng)該滿足的條件,再考慮所得條件是否充分,從而確定等差數(shù)列中存在無(wú)窮等比數(shù)列子數(shù)列條件.【解法】設(shè)中存在一個(gè)等比數(shù)列子數(shù)列：，，，…，其中，由前三項(xiàng)成等比數(shù)列可知，顯然，從而有是存在一個(gè)等比數(shù)列子數(shù)列的必要條件；反過(guò)來(lái)，如果，不妨設(shè)且，取自然數(shù)，使①，設(shè)②，③，由②-①知：，取，則，，由③-②知：，.由歸納法知，其中，.所以子數(shù)列成等比數(shù)列.【點(diǎn)評(píng)】探究存在性問(wèn)題，一般先從存在入手，尋找結(jié)論的必要性，特別是從前三項(xiàng)去確定條件是一種自然的思路，但必須確定條件的充分性.本題中，

6、充分性的確定也是采用的構(gòu)造法，實(shí)際上是從同號(hào)的項(xiàng)開(kāi)始，確定兩項(xiàng)，使得兩項(xiàng)之比為整數(shù).結(jié)論：1.等差數(shù)列中存在一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列子數(shù)列的充要條件是.2.公差為()非零等差數(shù)列中，則其一定不存在等比數(shù)列子數(shù)列.三、【真題鏈接】1.已知是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，，（1）若是某一正整數(shù)，求證：是整數(shù)，且數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)；（2）是否存在這樣的正數(shù)，使等比數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫(xiě)出一個(gè)的值，并加以說(shuō)明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；2.求證：對(duì)于給定的正整數(shù)()，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)的順序）都不能組成等比數(shù)列．四、【練習(xí)】1.在公差

7、不為0的等差數(shù)列中,,,,恰好為等比數(shù)列的前四項(xiàng),則=___.2.若等差數(shù)列中，公差,,求所有的公差的值,使,,,,…,,…成等比數(shù)列，其中.3.設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為,若從中抽取一個(gè)公比為的等比數(shù)列,其中,且,,求當(dāng)取最小值時(shí),的通項(xiàng)公式.參考解答：1.m=27;2.由得，化簡(jiǎn)得的可能取值為.當(dāng)時(shí)，，，另一方面，，矛盾，故不成立.（此時(shí)）同理，成立.3.，，，由前面的討論可知，公比的最小值為2，所以.