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1、§3.2剩余類與完全剩余系一、剩余類——按余數(shù)的不同對(duì)整數(shù)分類是模m的一個(gè)剩余類，即余數(shù)相同的整數(shù)構(gòu)成m的一個(gè)剩余類。一個(gè)剩余類中任意一個(gè)數(shù)稱為它同類的數(shù)的剩余。一個(gè)整數(shù)被正整數(shù)n除后，余數(shù)有n種情形：0，1，2，3，…，n-1，它們彼此對(duì)模n不同余。這表明，每個(gè)整數(shù)恰與這n個(gè)整數(shù)中某一個(gè)對(duì)模n同余。這樣一來，按模n是否同余對(duì)整數(shù)集進(jìn)行分類，可以將整數(shù)集分成n個(gè)兩兩不相交的子集。定理1二、完全剩余系1.定義2注：①完全剩余系不唯一；②{0,1,2,?,m?1}是模m的最小非負(fù)完全剩余系；③若把剩余系作為一個(gè)集合，則可以把對(duì)模m的余數(shù)相同的整
2、數(shù)——即同一剩余類里的整數(shù)，看作同一元素。完全剩余系舉例：集合{0,6,7,13,24}是模5的一個(gè)完全剩余系，集合{0,1,2,3,4}是模5的最小非負(fù)完全剩余系。都是模m的絕對(duì)最小完全剩余系。是模m的絕對(duì)最小完全剩余系。2、完全剩余系的構(gòu)造定理2整數(shù)集合A是模m的完全剩余系的充要條件是①A中含有m個(gè)整數(shù)；②A中任何兩個(gè)整數(shù)對(duì)模m不同余。注：由定理1及定義2易得證。思考：1、既然完全剩余系是不唯一的，不同的剩余系之間存在什么關(guān)系呢？2、一個(gè)完全剩余系的所有元素通過線性變化后，還是完全剩余系嗎？檢驗(yàn)：設(shè){x1,x2,?,xm}是模m的一個(gè)完
3、全剩余系，那么，{b+x1,b+x2,?,b+xm}和{ax1,ax2,?,axm}是模m的一個(gè)完全剩余系嗎？定理3設(shè)m?1，a，b是整數(shù)，(a,m)=1，{x1,x2,?,xm}是模m的一個(gè)完全剩余系，則{ax1?b,ax2?b,?,axm?b}也是模m的完全剩余系。證明由定理2，只需證明：若xi?xj，則axi?baxj?b(modm)。假設(shè)axi?b?axj?b(modm)，則axi?axj(modm)，且(a,m)=1，xi?xj(modm)由§3.1中的結(jié)論,P50第三行知：注意：(1)在定理3中，條件(a,m)=1不可缺少，否則
4、不能成立；(2)定理3也可以敘述為：設(shè)m?1，a，b是整數(shù)，(a,m)=1，若x通過模m的一個(gè)完全剩余系，則ax+b也通過模m的一個(gè)完全剩余系；（3）特別地，若x通過模m的一個(gè)完全剩余系，(a,m)=1，，則ax和x+b也分別通過模m的一個(gè)完全剩余系。例2設(shè)A={x1,x2,?,xm}是模m的一個(gè)完全剩余系，以{x}表示x的小數(shù)部分，證明：若(a,m)=1，則證：當(dāng)x通過模m的完全剩余系時(shí)，ax?b也通過模m的完全剩余系，因此對(duì)于任意的i（1?i?m），axi?b一定且只與某個(gè)整數(shù)j（1?j?m）同余，即存在整數(shù)k，使得axi?b=km?j
5、，（1?j?m）3、剩余系間的聯(lián)系定理4設(shè)m1,m2?N，A?Z，(A,m1)=1，分別是模m1與模m2的完全剩余系，則R={Ax?m1y：x?X，y?Y}是模m1m2的一個(gè)完全剩余系。證明由定理3只需證明：若x?,x???X，y?,y???Y，且Ax??m1y??Ax???m1y??(modm1m2)，例1設(shè)p?5是素?cái)?shù)，a?{2,3,?,p?1}，則在數(shù)列a，2a，3a，?，(p?1)a，pa中有且僅有一個(gè)數(shù)b，滿足b?1(modp)；證：因?yàn)椋?，2，3，?，(p?1)，p｝是模p的一個(gè)完全剩余系，所以｛a，2a，3a，?，(p?1)
6、a，pa｝構(gòu)成模p的一個(gè)完全剩余系。因此必有唯一的數(shù)b滿足式b?1(modp)。定理4設(shè)m1,m2?N，A?Z，(A,m1)=1，分別是模m1與模m2的完全剩余系，則R={Ax?m1y：x?X，y?Y}是模m1m2的一個(gè)Ax??Ax??(modm1)?x??x??(modm1)?x?=x??，?m1y??m1y??(modm1m2)?y??y??(modm2)?y?=y??。證：Ax??m1y??Ax???m1y??(modm1m2)，?Ax??m1y??Ax???m1y??(modm1)，由x?=x??，Ax??m1y??Ax???m1y
7、??(modm1m2)，推論若m1,m2?N，(m1,m2)=1，當(dāng)x1與x2分別通過模m1與模m2的完全剩余系時(shí)，則m2x1?m1x2通過模m1m2的完全剩余系。證：由定理3只需證明，若xi?,xi???Xi，1?i?n，A1x1??A2x2????Anxn??A1x1???A2x2?????Anxn??(modm1?mn)則可以得到xi?=xi??，1?i?n.事實(shí)上，由條件3假設(shè)易得，對(duì)于任意的i，1?i?n，有Aixi??Aixi??(modmi)〔證明方法同定理4〕。再利用條件2推得xi??xi??(modmi)，因此xi?=xi
8、??.定理5設(shè)mi?N，Ai?Z（1?i?n），并且滿足：①(mi,mj)=1，1?i,j?n，i?j；②(Ai,mi)=1，1?i?n；③mi?Aj，1?i,j?n，i?j。則
