利用微分法快速繪制剪力圖與彎矩圖

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1、《機(jī)電技術(shù)》2010年第3期機(jī)電研究及設(shè)計制造利用微分法快速繪制剪力圖與彎矩圖陳小蘭陳曉波(鄂東職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北黃岡438000)摘要：本文根據(jù)載荷集度、剪力和彎矩三者的微分關(guān)系，介紹一種簡易快速繪制剪力圖和彎矩圖的方法——微分關(guān)系法，省去了截面法“截、代、平”及建立剪力和彎矩方程的復(fù)雜過程，可以高效的、巧妙的繪制出剪力圖和彎矩圖。關(guān)鍵詞：微分法；剪力圖；彎矩圖；直梁彎曲中圖分類號：TB301文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1672－4801(2010)03－060－03在高職教材《機(jī)械設(shè)計基礎(chǔ)》材料力學(xué)

2、這一(2)在梁的某段，若作用均布載荷，即qx()=常篇中，直梁的彎曲變形是桿件的基本變形之一，數(shù)，則Fx()是一次函數(shù)，剪力圖為一條斜直線，Q在對梁進(jìn)行強(qiáng)度和剛度計算時，通常要畫出剪力而M()x是二次函數(shù)，彎矩圖為一條拋物線。圖和彎矩圖（即將梁上所有橫截面上的剪力和彎(3)在集中力作用截面的左右兩側(cè)剪力有突矩用函數(shù)圖象的形式表示出來），以便清楚地看出變，突變值的大小等于集中力的大小，彎矩圖上梁各個橫截面上剪力和彎矩的大小、正負(fù)以及危有轉(zhuǎn)折點；在集中力偶作用截面的左右兩側(cè)彎矩險截面（即彎矩最大值所在截

3、面的位置）。這一節(jié)有突變，突變值的大小等于集中力偶的大小。內(nèi)容往往是學(xué)生不容易掌握的，是教學(xué)的難點，(4)在梁的某截面上，若有Fx()0=，則該截Q但是它又是教學(xué)的重點，是后面章節(jié)尤其是軸的面上彎矩有極值。強(qiáng)度校核的基礎(chǔ)。所以學(xué)好梁的彎曲變形這一節(jié)1.2繪圖步驟內(nèi)容顯得非常重要。而分析梁的彎曲變形主要就用平行于梁軸線的坐標(biāo)x表示橫截面的位是繪制梁的各個橫截面上的剪力和彎矩，即繪制置，縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪力和彎矩繪制出剪力圖和彎矩圖。因此剪力圖和彎矩圖的正確快的圖形稱為剪力圖和彎矩圖。剪力的正、負(fù)

4、號規(guī)速繪制是分析問題的關(guān)鍵。本文根據(jù)載荷集度、定為：左上右下為正，即截面左邊向上外力產(chǎn)生剪力和彎矩三者的微分關(guān)系，介紹一種簡易快速剪力的為正，截面右邊向下外力產(chǎn)生的剪力為正；繪制剪力圖和彎矩圖的方法——微分關(guān)系法，省反之為負(fù)。彎矩的正、負(fù)號規(guī)定為：左順右逆為去了截面法“截、代、平”及建立剪力和彎矩方程正，即截面左邊外力對截面形心產(chǎn)生順時針的力的復(fù)雜過程，可以高效、巧妙地繪制出剪力圖和矩時產(chǎn)生的彎矩為正，截面右邊外力對截面形心彎矩圖。產(chǎn)生逆時針的力矩時產(chǎn)生的彎矩為正；反之為負(fù)。1微分法繪制剪力圖和彎矩

5、圖根據(jù)微分關(guān)系得出繪圖步驟如下：(1)正確求出題目中的支座反力（包括大小和1.1載荷集度、剪力和彎矩的微分關(guān)系方向）。載荷集度q、剪力F、彎矩M三者存在的Q(2)按照從左往右順序依次繪制剪力圖：無載微分關(guān)系為：彎矩方程的一階導(dǎo)數(shù)等于剪力方程，荷作用的梁段，剪力為常數(shù)；集中力作用的截面剪力方程的一階導(dǎo)數(shù)等于載荷集度，即剪力有突變，突變值為集中力大??；均布載荷作dMx()dFx()Q用的梁段，剪力為一次函數(shù)，圖形為一條斜直線，==Fx(),qx()。Qdxdx斜率的正負(fù)取決于載荷集度q的方向（即q的方[

6、1]根據(jù)上式微分關(guān)系得出以下推論：向向下，則斜率為負(fù)，反之為正）。(1)在梁的某段，若無載荷作用，即qx()0=，(3)按照從左往右順序繪制彎矩圖：無載荷作則Fx()=常數(shù)，剪力圖是一條與x軸平行的水平Q用的梁段，彎矩為一次函數(shù)，圖形為一條斜直線；線，而M()x為一次函數(shù)，彎矩圖為一條斜直線，集中力偶作用的截面彎矩有突變，突變值為集中斜率為剪力的值。力偶大?。痪驾d荷作用的梁段，彎矩為二次函60機(jī)電研究及設(shè)計制造《機(jī)電技術(shù)》2010年第3期數(shù)，圖形為一條拋物線，開口方向取決于載荷集2.2多種載荷綜合

7、作用時剪力圖和彎矩圖的繪制度q的方向(即q的方向向下，則開口向下，反之開口向上)。其余梁段利用剪力面積計算法（即指定截面上的彎矩等于該截面左側(cè)部分剪力圖面積的代數(shù)和，x軸上方為正面積，下方為負(fù)面積）計算出由外力引起的彎矩與集中力偶的代數(shù)和，[2]從而求出梁某截面上的彎矩。(4)剪力圖和彎矩圖均可認(rèn)為從零開始，最終回到x軸。2應(yīng)用舉例2.1單種載荷作用時剪力圖、彎矩圖的繪制圖2多種載荷作用時的剪力圖和彎矩圖如圖2所示，一外伸梁受均布載荷q、集中力偶M和集中載荷F的作用，按照繪圖步驟，首先求出支座反力F

8、=25kN，F(xiàn)=15kN，方向均向BE上。建立坐標(biāo)系后，剪力圖的繪制：AB段有均布載荷q作用，剪力圖為斜直線，由于q方向向下，斜率為負(fù)，產(chǎn)生負(fù)剪力F=?(20)kN；B截面上有Q集中載荷FB作用，剪力有突變，突變值為+25kN，即F=?+=(20)255kN；BC段無載荷作用，力Q圖1單個載荷作用時的剪力圖和彎矩圖偶M不影響剪力大小，剪力為常數(shù)即F=5kN；Q如圖1所示，一懸臂梁受集中載荷F作用，D截面有集中力F作用，剪力有突變，突變值為20kN，即F=?=?520(