5 平面分析-整體剛度矩陣

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1、2021/6/13平面問題有限元分析-總剛15平面問題有限元分析整體剛度矩陣曹國華5.1整體剛度矩陣5.2整體剛度矩陣的特點5.3邊界條件5.4計算結(jié)果整理5.5收斂準則前文對單元體進行了分折，得到了單元剛度方程，但要解決問題，還必須進一步建立整個計算模型的整體剛度方程。完成這一步的關鍵，在于怎樣將單元的剛度矩陣和節(jié)點荷載列陣，分別“組裝”成整體剛度矩陣和整體節(jié)點荷載列陣。這里通過研究任意節(jié)點的平衡來建立整體剛度矩陣，該方法不但比較直觀、易懂，而且對怎樣編寫計算機程序是很有幫助的。2021/6/132平面問題有限元分析-總剛5.1整體剛度矩

2、陣整體節(jié)點載荷列陣：由各節(jié)點所受等效節(jié)點力按節(jié)點號碼以從小到大的順序排列組成的列陣。等效節(jié)點力是由集中力、表面力和體積力共同移置構(gòu)成的，其中集中力包括直接作用在彈性體上的外力和邊界約束力，如支座反力。為了研究整體剛度矩陣的組裝過程，先引入兩個概念。整體節(jié)點位移列陣：由各節(jié)點位移按節(jié)點號碼以從小到大的順序排列組成的列陣。2021/6/133平面問題有限元分析-總剛5.1整體剛度矩陣式中：，不失一般性，僅考慮計算模型中有4個單元，如圖所示。四個單元的整體節(jié)點位移列陣為2021/6/134平面問題有限元分析-總剛5.1整體剛度矩陣對每個單元都可以

3、寫出相應的單元剛度方程，即單元節(jié)點平衡方程。例如，對①號單元，有式中：——①號單元中第i（i=1,2,3）節(jié)點所受力。為了便于組裝整體剛度矩陣，將上式以整體節(jié)點位移表示，即——①號單元的擴大剛度矩陣或稱為單元貢獻矩陣。2021/6/135平面問題有限元分析-總剛5.1整體剛度矩陣同理，對于②單元，有式中：——②號單元中第i（i=1,3,4）節(jié)點所受力；——②號單元的擴大剛度矩陣。2021/6/136平面問題有限元分析-總剛5.1整體剛度矩陣對于3單元，有式中：——3號單元中第i（i=3,4,5）節(jié)點所受力；——3號單元的擴大剛度矩陣。202

4、1/6/137平面問題有限元分析-總剛5.1整體剛度矩陣對于④單元，有式中：——④號單元中第i（i=3,4,5）節(jié)點所受力；——④號單元的擴大剛度矩陣。2021/6/138平面問題有限元分析-總剛5.1整體剛度矩陣對于任意一個節(jié)點，可能承受兩種力的作用，一種是其它單元給予該節(jié)點的反作用力；另一種是作用在節(jié)點上的等效節(jié)點力。對整體而言，前者屬于內(nèi)力，后者屬于外力，每個節(jié)點在兩種力的作用下處于平衡。將各單元剛度方程左邊相加，即將各節(jié)點所受力相加，由于對于整體而言，單元給予節(jié)點的反作用力屬于內(nèi)力，在相加過程中相互抵消，所以各節(jié)點所受力相加的結(jié)果只

5、有外力，即等效節(jié)點力，從而得到整體節(jié)點荷載列陣，如下2021/6/139平面問題有限元分析-總剛5.1整體剛度矩陣將各單元剛度方程右邊相加，從而得到整體剛度矩陣，如下2021/6/1310平面問題有限元分析-總剛5.1整體剛度矩陣通過以上分析得，整體節(jié)點載荷與整體節(jié)點位移之間的關系式，即結(jié)構(gòu)整體有限元方程，如下式中：——整體剛度矩陣。2021/6/1311平面問題有限元分析-總剛5.1整體剛度矩陣整體剛度矩陣組裝的基本步驟：1）將單元剛度矩陣中的每個子塊放到在整體剛度矩陣中的對應位置上，得到單元的擴大剛度矩陣。注意對于單元剛度矩陣是按照局部

6、編碼排列的，即對應單元剛度矩陣中的i、j、m；對于整體剛度矩陣是按照整體編碼排列的，即按節(jié)點號碼以從小到大的順序排列。在組裝過程中，必須知道單元節(jié)點的局部編碼與該節(jié)點在整體結(jié)構(gòu)中的整體編碼之間的關系，才能得到單元剛度矩陣中的每個子塊在整體剛度矩陣中的位置。將單元剛度矩陣中的每個子塊按總體編碼順序重新排列后，可以得到單元的擴大矩陣。例如在圖中，單元②的局部編碼為i、j、m，對應整體編碼為1、3、4，然后將單元②剛度矩陣中的每個子塊按總體編碼順序重新排列后，可以得到單元的擴大矩陣。注意有些書籍中將局部編碼表示為1、2、3或1，2，3等；2）將全

7、部單元的擴大矩陣相加得到整體剛度矩陣。2021/6/1312平面問題有限元分析-總剛5.1整體剛度矩陣通過以上組裝過程可以得到組裝整體剛度矩陣的一般規(guī)則：1）結(jié)構(gòu)中的等效節(jié)點力是相關單元結(jié)點力的疊加，整體剛度矩陣的子矩陣是相關單元的單元剛度矩陣子矩陣的集成；2）當整體剛度矩陣中的子矩陣中r=s時，該節(jié)點（節(jié)點r或s）被哪幾個單元所共有，則就是這幾個單元的剛度矩陣中的子矩陣的相加。如應該是單元①－④中對應子矩陣的集成，即2021/6/1313平面問題有限元分析-總剛5.1整體剛度矩陣3）當中時，若rs邊是組合體的內(nèi)邊，則就是共用該邊的兩相鄰單

8、元剛度矩陣中的子矩陣的相加。如13邊為單元①和②的共用邊，則4）當中r和s不同屬于任何單元時，則=0。如節(jié)點r＝1和s＝5不同屬于任何單元，此時=0。2021/6/1314平面問