有趣的平方和等式.doc

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1、上海市顧路中學(xué)拓展型、探究型課程實施教案2014學(xué)年度第__1___學(xué)期課程名稱有趣的平方和等式課時1課程類別執(zhí)教教師周晶適用年級初二課程內(nèi)容學(xué)習(xí)有趣的平方和等式課程目標1、理解有趣的平方和等式；2、會自己構(gòu)建有趣的平方和等式；3、通過拓展的學(xué)習(xí)能夠培養(yǎng)積極學(xué)習(xí)，努力思考的態(tài)度。課程實施32+42=52，102+112+122=132+142，212+222+232+242=252+262+272，……這些等式有趣嗎？你看，每個等式的兩端都是一串連續(xù)自然數(shù)的平方和，兩端合起來仍是一串連續(xù)自然數(shù)的平方和。這種現(xiàn)象

2、遵循什么規(guī)律呢？也就是哪些自然數(shù)串有這樣的關(guān)系呢？為了弄清楚這個問題，我們先來看幾組乘法算式：1×3=3，1×5=5；2×5=10，2×7=14；3×7=21，3×9=27；……你仔細觀察，會發(fā)現(xiàn)這些乘法算式有一定規(guī)律。首先同一組算式中的因數(shù)存在著聯(lián)系，同一個算式中的兩個因數(shù)有聯(lián)系，比如第一組，3比1的2倍多1，5比1的2倍多3；第二組，5比2的2倍多1，7比2的2倍多3；……而且同組中一個算式的因數(shù)與另一個算式的因數(shù)也有聯(lián)系，比如第一組兩個算式中都有因數(shù)1，第二組都有2，第三組都有3，……其次各組算式的因數(shù)之

3、間也有聯(lián)系，相鄰的兩組算式中也有相同的因數(shù)，比如第一、二組中都有5，第二、三組中都有7，第三、四組中都有9……研究這個規(guī)律有什么意義呢？先來看第一組兩個算式的積3和5，從3到5有3個連續(xù)自然數(shù)3，4，5，且32+42=52；再看第二組從10到14這5個連續(xù)自然數(shù)的關(guān)系，102+112+122=132+142，第三組212+222+232+242=252+262+272，……這就是本文開頭列舉的等式。由每組乘法算式的積確定的自然數(shù)串，每串都有類似的關(guān)系，即每組從第一個算式的積起，到第二個算式的積止，都有一串連續(xù)自

4、然數(shù)，每一串連續(xù)自然數(shù)，都可以分成這樣前后兩部分：前一部分比后一部分多1個自然數(shù)，且前后兩部分自然數(shù)的平方和相等。你可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，有這種關(guān)系的每一串連續(xù)自然數(shù)的個數(shù)也是由各組算式中的因數(shù)決定的，實際上就等于該組第一個算式的第二個因數(shù)。比如有一組算式是8×17和8×19，則從8×17的積到8×19的積這一串連續(xù)自然數(shù)就有17個，而這組中的相同因數(shù)8就是這串自然數(shù)后一部分的個數(shù)。各組兩個算式中相同的因數(shù)還可以作為這組算式和由這組算式確定的自然數(shù)串的編號。掌握了這個規(guī)律，你就可以寫出任一組算式確定的一串連續(xù)自然數(shù)，也

5、可以寫出個數(shù)為任意奇數(shù)（1除外）的一串連續(xù)自然數(shù)，使按順序分成前后兩部分（前一部分比后一部分多1個自然數(shù)）后，這兩部分自然數(shù)的平方和相等。有趣嗎？試一下，你能寫出第100組算式確定的那一串連續(xù)自然數(shù)嗎？你能找出連續(xù)2001個自然數(shù)，使前1001個自然數(shù)的平方和與后1000個的平方和相等嗎？相信你一定能成功！