資源描述：
《可用變量代換法求解的一階微分方程》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第四節(jié)可用變量代換法求解的一階微分方程一、齊次方程二、可化為齊次型的方程三、利用變量代換求微分方程的解四、伯努利方程一、齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法令代入原方程,得可分離變量的方程1.定義兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.分離變量，例1求解微分方程解代入原方程得分離變量,兩邊積分,得即故原方程的通解為(當(dāng)C=0時(shí),y=0也是方程的解)例2求解微分方程解代入原方程得分離變量,兩邊積分,得故原方程的通解為說(shuō)明:顯然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在求解過(guò)程中丟失了.例3求解微分方程解代入原方程得分離變量,兩邊積分,得故原
2、方程的通解為可得?OMA=?OAM=?解:設(shè)光源在坐標(biāo)原點(diǎn),則反射鏡面由曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成.過(guò)曲線上任意點(diǎn)M(x,y)作切線MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x軸平行于光線反射方向,從而AO=OM而AO于是得微分方程:例4在制造探照燈反射鏡面時(shí),要求點(diǎn)光源的光線反射出去有良好的方向性,試求反射鏡面的形狀.利用曲線的對(duì)稱性,不妨設(shè)y>0,積分得故有得(拋物線)故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面.于是方程化為(齊次方程)二、可化為齊次型的方程為齊次方程.(h和k是待定的常數(shù))否則為非齊次方程.2.解法1.定義原方程化為令,解出h,k(齊次方程)求出其通解后,即得
3、原方程的解.解代入原方程得分離變量方程變?yōu)榈迷匠痰耐ń饬顒t兩邊積分即可得通解。三、利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為有時(shí)可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q把一個(gè)方程化為可分離變量的方程：解令則故有即解得所求通解:解解代入原式分離變量法解得所求通解為另解伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程為線性微分方程.方程為非線性微分方程.四、伯努利方程解法:需經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程.求出通解后，將代入即得代入上式解例1解例2所求通解為解例3令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:五、小結(jié)1、齊次方程齊次方程的解法2、可化為齊次方程的方程3
4、、伯努利方程伯努利方程的解法六、幾點(diǎn)說(shuō)明:1、一階微分方程的類型較多,不同類型有不同的解法,因此首先要識(shí)別方程的類型,然后應(yīng)用相應(yīng)的解法.2、有時(shí)所給的方程并非標(biāo)準(zhǔn)型,應(yīng)把方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式再求解.思考題方程是否為齊次方程?解方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo):原方程是齊次方程.練習(xí)題練習(xí)題答案思考：例求解微分方程提示:上述方法不能用.可分離變量的微分方程.可分離變量的微分方程.可分離變量的微分方程.例用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解分離變量法解得所求通解為通解為解
