數(shù)項級數(shù)的收斂性教學(xué)探討.pdf

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1、課題展示新課程學(xué)習(xí)NEWCOURSES’STUDY數(shù)項級數(shù)的收斂性教學(xué)探討蘭堯堯（重慶文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財經(jīng)學(xué)院）摘要：級數(shù)的收斂性是級數(shù)理論的首要概念。對級數(shù)收斂性概念的教學(xué)進行探討，通過問題驅(qū)動，給學(xué)生展現(xiàn)級數(shù)概念的形成過程。關(guān)鍵詞：數(shù)項級數(shù)；數(shù)學(xué)史；極限級數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)和進行數(shù)值計算的有力工具，在多種實結(jié)果1：S=（1-1）+（1-1）+（1-1）+…=0+0+0+…=0際問題上的應(yīng)用非常廣泛。對級數(shù)的研究可追溯至對芝諾悖論的結(jié)果2：S=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1+0+0+…=1探討，其重要性始現(xiàn)于微積分學(xué)的創(chuàng)立與發(fā)展。例如，在求解面積結(jié)果3：S=1-（1-

2、1+1-1+…）=1-S，從而S=12問題時，牛頓最初就是利用將函數(shù)表示成無窮級數(shù)的方法，進而逐從上例可以看到，有限個數(shù)相加與無限個數(shù)相加是不同的，有項求積。另外，牛頓也使用了相同的方法來處理微分方程的問題。限到無限之間經(jīng)歷了質(zhì)的變化，有限和的交換律與結(jié)合律不能“平1級數(shù)是構(gòu)造非初等函數(shù)的重要方法，例如我們所熟知的積分乙e-t2dt，行移植”到無限和。在此，數(shù)學(xué)再一次發(fā)揮了其以簡御繁的精神與0方法，“簡”即有限，“繁”即無窮，“御”即逼近：以有限項之和去逼近無法通過黎曼積分方法求出，而是通過級數(shù)的方法求解的。一旦無窮項之和。我們可以看到，所選項數(shù)越多，近似程度越高，由此，給

3、出了函數(shù)的級數(shù)表示，對該函數(shù)的分析性質(zhì)進行探討就很便利引入“部分和”的概念：了。級數(shù)理論是以簡馭繁的數(shù)學(xué)思想的重要體現(xiàn)，以物理學(xué)的觀∞n點看，這就相當(dāng)于把一個復(fù)雜的運動分解為一系列簡諧運動的定義2：級數(shù)移un的前n項之和Sn=移un=u1+u2+…+un，稱為疊加。n=1k=1級數(shù)理論中的首要概念是收斂性，利用無窮級數(shù)來表示函數(shù)，級數(shù)（*）的第n個部分和（簡稱部分和）。若部分和數(shù)列移移Sn收斂，即逼近問題，最終將歸結(jié)為級數(shù)的收斂問題，因此，級數(shù)收斂性概∞lim念的教學(xué)是非常重要的，本文結(jié)合課堂教學(xué)實踐，探討級數(shù)收斂性即n∞Sn=S，則稱級數(shù)（*）收斂，且S為其和，記作移un

4、=S。n=1概念的教學(xué)。第三環(huán)節(jié)：定義運用一、重視級數(shù)概念的形成過程，注重數(shù)學(xué)史的滲透例1：（解決Aristotle悖論）級數(shù)概念建立在極限基礎(chǔ)之上，從有限和到無限和之間有了+∞n極限運算的參與，超乎學(xué)生的直觀經(jīng)驗，抽象度高。作為級數(shù)教學(xué)解：由于移Si=1S+1S+…+1S+…，而移Si=1S+1S+…+242n24的首課時，應(yīng)該讓學(xué)生對整章內(nèi)容的框架有個大概了解，因此，扼i=1i=1要介紹級數(shù)的發(fā)展史是很有必要的，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識是實踐1S+∞12的產(chǎn)物，源于生活并服務(wù)于生活。為此，我們利用問題驅(qū)動，從芝2nS=1=S，因此，移Si=S。1-i=1諾悖論開始，引入級數(shù)概

5、念。2第一環(huán)節(jié)：問題提出這說明總路程是一段有限的距離，不可能永遠也走不到終點，Aristotle悖論（PPT演示）同時指出悖論的謬誤之處。問題1：無限個數(shù)相加的結(jié)果是什么？例2：討論S=1-1+1-1+1-1+…的斂散性。問題2：有限個數(shù)相加的結(jié)合律、交換律對于無限和還有效嗎？解：S1=a1=1，第二環(huán)節(jié)：引出定義S2=a1+a2=1+（-1）=0，定義1：給定一個數(shù)列乙乙u，對其各項依次用“+”號連接起來S3=a1+a2+a3=1+（-1）+1=1，nS4=a1+a2+a3+a4=1+（-1）+1+（-1）=0…的表達式：1，n=2k-1∞Sn=移移0，n=2kun=u1

6、+u2+…+un+…（*）n=1因此，nlim∞Sn不存在，級數(shù)發(fā)散。稱為常數(shù)項級數(shù)或數(shù)項級數(shù)（簡稱級數(shù)），其中稱為數(shù)項級數(shù)∞（*）的通項或一般項。例3：討論等比級數(shù)移n-1=a+ar+ar2+…+arn+…（a≠0）的斂arn=1回到我們的問題：如何判斷級數(shù)（*）的結(jié)果？散性。先看一個例子：（讓學(xué)生自由交流，與同學(xué)分享自己的結(jié)論，教n師總結(jié)討論的結(jié)果）1-rn解：因為S=移k-1=a·，當(dāng)r≥1時，顯nar令S=1-1+1-1+1-1+…k=11-r（下轉(zhuǎn)第16頁）14課題展示新課程學(xué)習(xí)NEWCOURSES’STUDY遠縣命名為“安徽民間藝術(shù)之鄉(xiāng)”。1989年開始，懷遠縣

7、連續(xù)舉辦巷村已被譽為“安徽省陳派花鼓燈生態(tài)村”“花鼓燈藝術(shù)研究基了18屆花鼓燈藝術(shù)節(jié)，流傳在淮河兩岸，享譽全國的花鼓燈歌舞地”。潁上花鼓燈也在2006年6月10日被國務(wù)院正式批準列入藝術(shù)得以綻放異彩。“第一批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)項目”。2007年，韓國花鼓燈藝術(shù)如今，鳳臺縣成立了專業(yè)的花鼓燈藝術(shù)團體，頻頻承擔(dān)省、市、團專家調(diào)研團來潁上縣進行考察，并饒有興致地觀看了老藝人們縣級重大演出任務(wù)，活躍于國內(nèi)各個舞臺。目前，花鼓燈藝術(shù)團每的表演，這次考察加深了兩國的文化藝術(shù)交流。加強了花鼓燈基地年平均演出100多場。鳳臺花鼓