地推公式-通項(xiàng)公式.doc

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1、求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的九種方法利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，在理論上和實(shí)踐中均有較高的價(jià)值.自從二十世紀(jì)八十年代以來，這一直是全國高考和高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的熱點(diǎn)之一.一、作差求和法mw.w.w.k.s.5.u.c.o例1在數(shù)列{}中，,，求通項(xiàng)公式.解：原遞推式可化為：則，……，逐項(xiàng)相加得：.故.二、作商求和法例2設(shè)數(shù)列{}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n=1,2,3…），則它的通項(xiàng)公式是=▁▁▁（2000年高考15題）解：原遞推式可化為：=0∵＞0，則……，逐項(xiàng)相乘得：，即=.三、換元法例3已知數(shù)列{}，其中，且當(dāng)n≥3時(shí)，，求通項(xiàng)

2、公式（1986年高考文科第八題改編）.解：設(shè)，原遞推式可化為：是一個(gè)等比數(shù)列，，公比為.故.故.由逐差法可得：.例4已知數(shù)列{}，其中，且當(dāng)n≥3時(shí)，，求通項(xiàng)公式。解由得：，令，則上式為，因此是一個(gè)等差數(shù)列，，公差為1.故.。由于又所以，即四、積差相消法例5（1993年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽題一試第五題）設(shè)正數(shù)列，，…，，…滿足=且，求的通項(xiàng)公式.解將遞推式兩邊同除以整理得：設(shè)=，則=1，，故有⑴⑵…………()由⑴+⑵+…+()得=，即=.逐項(xiàng)相乘得：=，考慮到，故.五、取倒數(shù)法例6已知數(shù)列{}中，其中，且當(dāng)n≥2時(shí)，，求通項(xiàng)公

3、式。解將兩邊取倒數(shù)得：，這說明是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差為2，所以，即.六、取對(duì)數(shù)法例7若數(shù)列{}中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是=▁▁▁（2002年上海高考題）.解由題意知＞0，將兩邊取對(duì)數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，，即.七、平方（開方）法例8若數(shù)列{}中，=2且（n），求它的通項(xiàng)公式是.解將兩邊平方整理得。數(shù)列{}是以=4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列。。因?yàn)椋?，所以。八、待定系數(shù)法待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是從策略上規(guī)范一個(gè)遞推式可變成為何種等比數(shù)列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下

4、：1、（A、B為常數(shù)）型，可化為=A（）的形式.例9若數(shù)列{}中，=1，是數(shù)列{}的前項(xiàng)之和，且（n），求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是.解遞推式可變形為（1）設(shè)（1）式可化為（2）比較（1）式與（2）式的系數(shù)可得，則有。故數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。=。所以。當(dāng)n，。數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是。2、（A、B、C為常數(shù)，下同）型，可化為=）的形式.例10在數(shù)列{}中，求通項(xiàng)公式。解：原遞推式可化為：①比較系數(shù)得=-4，①式即是：.則數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是2.∴即.3、型，可化為的形式。例11在數(shù)列{}中，，當(dāng)，

5、①求通項(xiàng)公式.解：①式可化為：比較系數(shù)得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化為：則是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)=2-2（-1）=4，公比為3.∴.利用上題結(jié)果有：.4、型，可化為的形式。例12在數(shù)列{}中，，=6①求通項(xiàng)公式.解①式可化為：②比較系數(shù)可得：=-6，，②式為是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為.∴即故.九、猜想法運(yùn)用猜想法解題的一般步驟是：首先利用所給的遞推式求出……，然后猜想出滿足遞推式的一個(gè)通項(xiàng)公式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想是正確的。例13在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，=+，求其通項(xiàng)公式。求遞推數(shù)列通項(xiàng)

6、的特征根法與不動(dòng)點(diǎn)法一、形如是常數(shù)）的數(shù)列形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為…①若①有二異根，則可令是待定常數(shù)）若①有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進(jìn)而求得．例1．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．解：其特征方程為，解得，令，由，得，．例2．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．解：其特征方程為，解得，令，由，得，．二、形如的數(shù)列對(duì)于數(shù)列，是常數(shù)且）其特征方程為，變形為…②若②有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值．這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得．若②有二重根，則

7、可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值．這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得．此方法又稱不動(dòng)點(diǎn)法．例3．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．解：其特征方程為，化簡得，解得，令由得，可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，．例4．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．解：其特征方程為，即，解得，令由得，求得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，．