上數(shù)學(xué)競(jìng)賽用的.doc

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1、專題數(shù)列與遞推一、知識(shí)要點(diǎn)1、等差數(shù)列：(1)定義：（常量）或．(2)通項(xiàng)公式：．(3)前項(xiàng)和公式：．(4)任意兩項(xiàng)有．(5)對(duì)于任意正整數(shù)，若，則．反之不行．(6)若均是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．()2、等比數(shù)列：(1)定義：（常量）或．(2)通項(xiàng)公式：．(3)前項(xiàng)和公式：．(4)任意兩項(xiàng)有．(5)對(duì)于任意正整數(shù)，若，則．(6)無窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)和公式：．3、數(shù)列求和：方法主要有裂項(xiàng)求和、錯(cuò)位相減、倒序相加、分組求和等．二．一些常用遞歸數(shù)列的通項(xiàng)（一）與型———累加法與累積法(1)形如的一階遞歸式，其通項(xiàng)求法為．(累加法)(2)形如的遞歸式，其通項(xiàng)求法為6．(累積法)例1（1）（08四川

2、文16）設(shè)數(shù)列中，，則通項(xiàng)（2）（04年全國(guó)高考I）已知數(shù)列滿足，則通項(xiàng)=(二)基本模型：———待定系數(shù)法或相減法（1）當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，于是（2）當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公比為的等差數(shù)列，于是（3）當(dāng)時(shí)，法一：（待定系數(shù)法）令（展形后與原形對(duì)比有），變?yōu)?，出現(xiàn)等比數(shù)列。求其通項(xiàng)公式法二：（相減法）由及，兩式相減得，有是首項(xiàng)為，且公比為的等比數(shù)列，先求出，再求出．注：該模型是求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本模型，大部分的遞推數(shù)列最終都可以轉(zhuǎn)化為該模型解決6例2.（1）在數(shù)列中，已知，求（2）在數(shù)列，已知，求與（三）．可化為基本模型的遞推數(shù)列———轉(zhuǎn)化與化歸法（1），與型前者令轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解

3、；中間的變形為轉(zhuǎn)化為基本模型來求解，最后的取對(duì)數(shù)變形為轉(zhuǎn)化為基本模型求解。例3．（1）在數(shù)列中，已知，求（2）在數(shù)列中，已知，求（3）在數(shù)列中，已知，求（4）在數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，求（2）型6先設(shè)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，在轉(zhuǎn)化為基本模型求解法二(特征根法)：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例4.（1）在數(shù)列中，已知，求（2）在數(shù)列中，已知，求（3）與型1)型：兩邊取倒數(shù)后轉(zhuǎn)化為基本模型2)型：設(shè)，轉(zhuǎn)化為

4、，且取適合的使它變形為上一種類型法二：不動(dòng)點(diǎn)法：當(dāng)f(x)=x時(shí)，x的取值稱為不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)是我們?cè)诟?jìng)賽中解決遞推式的基本方法．典型例子：，令，即，令此方程的兩個(gè)根為x1，x2，若x1=x2，則有，其中p6可以用待定系數(shù)法求解，為p=，然后再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解．若x1≠x2，則有，其中q可以用待定系數(shù)法求解，為q=，然后再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解．此時(shí)是等比數(shù)列，首項(xiàng)是例5.在數(shù)列中，已知，求（2）在數(shù)列中，已知，求（四）其他模型———?dú)w納推理法有些不規(guī)則的遞推數(shù)列的通項(xiàng)用以上的方法不奏效時(shí)，我們不妨運(yùn)用“歸納——猜想——證明”的歸納推理法，從前幾項(xiàng)找出規(guī)律，然后猜出其通項(xiàng)（運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納

5、給出嚴(yán)格的證明），或者根據(jù)已知條件整理，變形為規(guī)則的遞推數(shù)列，再求其通項(xiàng)。例6.(1)在數(shù)列中，且，則A．B．C．D．(2)(12年江西理)觀察下列各式：則A．28B．76C．123D．199（3）已知數(shù)列，求(4)已知數(shù)列中，，，求6三．綜合題例7.等比數(shù)列{}的前項(xiàng)和為,已知對(duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，記,求數(shù)列的前項(xiàng)和例8設(shè)為實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿足，，（…）．（1）證明：，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，，求的前項(xiàng)和．6