求函數(shù)最值的幾種方法.doc

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1、求函數(shù)最值的幾種方法最值問題是高中數(shù)學(xué)中一類非常重要的問題，在高考中占據(jù)著重要地位。最值問題的解法靈活多樣，因此解決最值問題具有一定難度。本學(xué)年的學(xué)生正在學(xué)習(xí)新課標(biāo)A版必修5的第三章不等式，結(jié)合教學(xué)中遇到的一些最值問題，我對(duì)最值問題的解法進(jìn)行了初步的探究、歸納和總結(jié)。一、不等式法本章我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)重要的不等式：（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；（2）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。這兩個(gè)不等式以及它們的變形形式在解決最值問題中有著重要的應(yīng)用。從第二個(gè)不等式中我們可以看出：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若，且，為定值，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)

2、兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若，且，為定值，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。以上結(jié)論總結(jié)起來就是八個(gè)字：“積定和小，和定積大”。例1.（1）已知，求的最小值及此時(shí)的的值；（2）已知，求的最大值.分析：（1）可以從對(duì)號(hào)函數(shù)的角度出發(fā)，通過研究對(duì)號(hào)函數(shù)的圖像進(jìn)而得出結(jié)論；（2）可以用研究二次函數(shù)最值的方法，對(duì)表達(dá)式進(jìn)行配方.與以上利用函數(shù)的方法比較，利用不等式求最值的方法要簡便一些。解:(1)因?yàn)?所以,因此,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.(2)因?yàn)?所以,因此當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.解決例1中的這類問題需要對(duì)要求最值的表達(dá)式進(jìn)行“配湊”,力圖將其化為和為定值或者積為定

3、值的形式,再利用基本不等式求取最值.在求解過程中要注意應(yīng)用基本不等式的條件以及取等條件是否成立,要符合“一正二定三相等”的要求.例2.求函數(shù)的最值.分析:我們知道,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.但是顯然等號(hào)不可能成立,因此利用不等式取不到最值.解:.令,則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),,此時(shí).二、消參法消參法時(shí)我們?cè)诮鉀Q含有兩個(gè)或者兩個(gè)以上參數(shù)的最值問題時(shí)非常常用的方法，在消參的過程中要注意被留下的參數(shù)的范圍，也就是說要“消參等價(jià)”.例如,在例3中,已知條件中給出了參量的關(guān)系,利用這一等式關(guān)系可把或者消掉,只保留一個(gè)參數(shù),但是要注意保留參數(shù)的取值范圍.例3.若正數(shù)滿足,求的最

4、小值.解:由已知得:,其中.則有,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,此時(shí).三、“1”的代換同樣是解決例3這類的問題,我們還可以利用數(shù)“1”的特性:1乘以任何數(shù)(式)都等于它本身,將要求最值的表達(dá)式進(jìn)行變形,進(jìn)而求出它的最值.例3.若正數(shù)滿足,求的最小值.解:由已知得:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.又由,可得:,即當(dāng)時(shí),取最小值為25.例4.已知兩個(gè)正數(shù)滿足，求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍.解：要使不等式恒成立，則不大于的最小值.由已知可得:’當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又,所以.因此.雖然例4中的已知條件中沒有出現(xiàn)1，但是與的和仍是一個(gè)常數(shù),我們可以將常數(shù)乘以一定的系數(shù)化成1,因此,對(duì)于這類

5、問題只要加和為常數(shù)都可以用“1”的代換的方法來解決,故“1”的代換也可以叫做“”的代換.四、三角換元法三角換元法在很多數(shù)學(xué)問題中都有著重要應(yīng)用.適合用三角換元法求解的問題基本都有以下特點(diǎn):兩個(gè)參數(shù)均為正數(shù),且加和等于1或者一個(gè)常數(shù).例如,已知,則我們可令,其中.例5.求函數(shù)的最大值.解：令，，其中，則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí).五、數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來解決問題的方法叫做數(shù)形結(jié)合法.利用數(shù)形結(jié)合解題可以讓學(xué)生更直觀的看到取得最值的過程,還可以簡化解題過程達(dá)到事半功倍的效果.例6.若均為實(shí)數(shù),且,求的最小值.解法一

6、(數(shù)形結(jié)合):由已知條件可知：表示直線上橫縱坐標(biāo)均為正數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，要求的最小值就是要求直線上哪點(diǎn)到原點(diǎn)距離最短.如圖所示,線段的長度就是最短距離,此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為,最短距離的平方,即的最小值為.解法二不等式法):由已知得:.由可得:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.解法三(消參法):由已知得:,其中,則有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí).求最值問題的方法靈活多樣,對(duì)于一道題可能存在很多種不同的解法,在上面介紹的五種基本方法中,消參法的適用范圍最廣泛,將含有多個(gè)參數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)再求最值也是我們最常用的方法,因此,利用求函數(shù)值域的方法也可以解決某些最值問題;不等式法和數(shù)形結(jié)合法在

7、簡化問題方面的作用比較突出;三角換元法和“1”的代換法的適用條件比較特殊,但是對(duì)于解決某些問題確實(shí)非常有效的方法.研究最值問題的解法是個(gè)很有魅力的數(shù)學(xué)課題,我會(huì)在以后的教學(xué)實(shí)踐中不斷地對(duì)方法進(jìn)行總結(jié)和補(bǔ)充.求函數(shù)最值的幾種方法哈爾濱市第九中學(xué)數(shù)學(xué)組李敏