同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式.doc

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1、講義編號(hào)3.2同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式考綱要求1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.2．能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，并能靈活運(yùn)用．知識(shí)梳理一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1．平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)2．商數(shù)關(guān)系:tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z)二、六組誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tan

2、αtanα－tanα－tanα不要求不要求對(duì)于角“±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，意思是說(shuō)±α，k∈Z的三角函數(shù)值等于“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)．”究疑點(diǎn)有人說(shuō)sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sinα(k∈Z)，你認(rèn)為正確嗎？提示：不正確．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sinα；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(

3、2nπ＋π－α＝sin(π－α)＝sinα.典型例題【考點(diǎn)一】同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用★1．（20099）若，則.【答案】【解析】本題主要考查簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的運(yùn)算.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.由已知，在第三象限，∴，∴應(yīng)填.★★2.（20119）在中。若b=5，，tanA=2，則sinA=____________；a=_______________?！敬鸢浮俊铩铩?．已知sinα－cosα＝，則sinα·cosα＝________.答案：★★★4．已知α是三角形的角，且sinα＋cosα＝.(1)求tanα的值；(2)把用tanα表示出來(lái)，并求

4、其值．解：(1)法一：聯(lián)立方程由①得cosα＝－sinα，將其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形角，∴，∴tanα＝－法二：∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝()2，即1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.∵sinαcosα＝－<0，且0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝，由，得，∴tanα＝－..(2)＝＝＝.∵tanα＝－，∴＝＝＝－.【變式之作】★★（2009卷）已知

5、，則（A）（B）（C）（D）【解析】＝＝【答案】D[歸納領(lǐng)悟]1．利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．2.應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．3．應(yīng)用sin2α＋cos2α＝1求sinα或cosα?xí)r，特別注意角α的三角函數(shù)值的符號(hào)，符號(hào)規(guī)律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4．注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－co

6、s2α，cos2α＝1－sin2α.【考點(diǎn)二】誘導(dǎo)公式的應(yīng)用★1．（2010全國(guó)卷1）(1)(A)(B)-(C)(D)1.C【命題意圖】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、特殊三角函數(shù)值等三角函數(shù)知識(shí)【解析】★2.（2009全國(guó)卷Ⅰ）的值為(A)(B)(C)(D)【解析】本小題考查誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，基礎(chǔ)題。解：，故選擇A。★★3．已知tanθ＝2，則＝(　　)A．2B．－2C．0D.解析：＝＝＝＝＝－2.答案：B★★★4．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°.解：原式＝－s

7、in1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225°＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝×＋×＋1＝2.★★★5．化簡(jiǎn)(1)＋；(2)，k∈Z.解：(1)原式＝＋＝＋＝.(2)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，記k＝2n(n∈Z)，原式＝＝＝＝－1；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，記k＝2n＋1(n∈Z)，原式＝＝＝＝－1.綜上，原式＝－1.【變式之作】★★★已知cos(π＋α)＝－，且α是第四象限角，計(jì)算：(1

8、)sin(2π－α)；(2)(n∈Z)．解：∵cos(π＋α)＝－，∴－cosα＝－，cosα＝.又∵α是第四象限角，∴sinα＝－＝－