映射及映射及例題.doc

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1、映射及映射法及例題知識、方法、技能1．映射的定義設(shè)A，B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有惟一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從集合A到集合B的映射，記作（1）映射是特殊的對應(yīng)，映射中的集合A，B可以是數(shù)集，也可以是點集或其他集合，這兩個集合有先后次序，從A到B的映射與從B到A的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互換的，互換后就不是原來的映射了.（3）映射包括集合A和集合B，以及集合A到B的對應(yīng)法則f，三者缺一不可.（4）對于一個從集合A到集合B的映射來說，A中的每一個元素必有惟一的，但B中的每

2、一個元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一個.2．一一映射一般地，設(shè)A、B是兩個集合，是集合A到集合B的映射，如果在這個映射下，對于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一個元素都有原象，那么個這個映射叫做A到B上的一一映射.3．逆映射如果f是A與B之間的一一對應(yīng)，那么可得B到A的一個映射g：任給，規(guī)定，其中a是b在f下的原象，稱這個映射g是f的逆映射，并將g記為f—1.顯然有（f—1）—1=f，即如果f是A與B之間的一一對應(yīng)，則f—1是B與A之間的一一對應(yīng)，并且f—1的逆映射是f.事實上，f—1是B到A的映射，對于B中的

3、不同元素b1和b2，由于它們在f下的原象不同，所以b1和b2在f—1下的像不同，所以f—1是1－1的.任給，則.這說明A中每個元素a在f—1都有原象.因此，f—1是映射上的.這樣即得f—1是B到A上的1－1映射，即f—1是B與A之間一一對應(yīng).從而f—1有逆映射由于任給，其中b是a在f—1下的原象，即f—1(b)=a，所以，f(a)=b，從而，這即是f—1的逆映射是f.賽題精講Ⅰ映射關(guān)映射的高中數(shù)學(xué)競賽題是常見題型之一，請看下述試題.例1：設(shè)集合映射f：F→Z.使得的值.11【思路分析】應(yīng)從入手，列方程組來解之.【略解】由f的定義和已知數(shù)據(jù)，

4、得將兩式相加，相減并分別分解因式，得顯然，的條件下，對應(yīng)可知同理，由對應(yīng)地，于是有以下兩種可能：（Ⅰ）（Ⅱ）由（Ⅰ）解出x=1，y=9，u=8，v=6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M中元素的范圍.因此，（Ⅱ）無解.【評述】在解此類問題時，估計的可能值是關(guān)鍵，其中，對它們的取值范圍的討論十分重要.例2：已知集合求一個A與B的一一對應(yīng)f，并寫出其逆映射.圖Ⅰ－1－2－1【略解】從已知集合A，B看出，它們分別是坐標(biāo)平面上兩直線所夾角形區(qū)域內(nèi)的點的集合（如圖Ⅰ－1－2－1）.11集合A為直線所夾角內(nèi)點的集合，集合B則是第一、三象限內(nèi)點的集合.

5、所要求的對應(yīng)實際上可使A區(qū)域拓展成B區(qū)域，并要沒有“折疊”與“漏洞”.先用極坐標(biāo)表示集合A和B：令在這個映射下，極徑?jīng)]有改變，輻角之間是一次函數(shù)，因而之間是一一對應(yīng)，其中所以，映射f是A與B的一一對應(yīng).逆映射極易寫，從略.【評述】本題中將下角坐標(biāo)問題化為極坐標(biāo)問題，頗具特色.應(yīng)注意理解掌握.Ⅱ映射法應(yīng)用映射知識往往能巧妙地解決有關(guān)集合的一些問題.例3：設(shè)X={1，2，…，100}，對X的任一非空子集M，M中的最大數(shù)與最小數(shù)的和稱為M的特征，記為求X的所有非空子集的特征的平均數(shù).【略解】設(shè)于是是X的非空子集的全體（子集組成的集），Y到X自身的

6、滿射，記X的非空子集為A1，A2，…，An（其中n=2100－1），則特征的平均數(shù)為由于A中的最大數(shù)與A′中的最小數(shù)的和為101，A中最小數(shù)與A′中的最大數(shù)的和也為101，故從而特征平均數(shù)為如果A，B都是有限集合，它們的元素個數(shù)分別記為對于映射來說，如果f是單射，則有；如果f是滿射，則有；如果f是雙射，則有.這在計算集合A的元素的個數(shù)時，有著重要的應(yīng)用.即當(dāng)比較難求時，我們就找另一個集合B，建立一一對應(yīng)，把B的個數(shù)數(shù)清，就有.這是我們解某些題時常用的方法.請看下述兩例.例4：把△ABC的各邊n等分，過各分點分別作11各邊的平行線，得到一些由

7、三角形的邊和這些平行線所組成的平行四邊形，試計算這些平等四邊形的個數(shù).【略解】如圖Ⅰ－1－2－2所示，我們由對稱性，先考慮邊不行于BC的小平行四邊形.把AB邊和AC邊各延長一等分，分別到B′，C′，連接B′C′.將A′B′的n條平行線分別延長，與B′C′相交，連同B′，C′共有n+2個分點，從B′至C′依次記為1，2，…，n+2.圖中所示的小平行四邊形所在四條線分別交B′C′于i，j，k，l.記A={邊不平行于BC的小平行四邊形}，把小平行四邊形的四條邊延長且交邊于四點的過程定義為一個映射：.下面我們證明f是A與B的一一對應(yīng)，事實上，不同的

8、小平行四邊形至少有一條邊不相同，那么交于的四點亦不全同.所以，四點組亦不相同，從而f是A到B的1－1的映射.任給一個四點組，過i，j點作AB的平行線，過k，l作AC的平行線，必交