中國(guó)海洋大學(xué)實(shí)變函數(shù)復(fù)習(xí)題總匯.doc

《中國(guó)海洋大學(xué)實(shí)變函數(shù)復(fù)習(xí)題總匯.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。

1、第一章重點(diǎn):l集合的交、并、差、余運(yùn)算，對(duì)偶定理l上、下限集的定義、求法l有關(guān)函數(shù)集合的表示l對(duì)等的判定建立、定理l可數(shù)集的性質(zhì)、判定l基的判定l具體集合的基習(xí)題：12,20,21，22，26,28,29第二章重點(diǎn):l邊界點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)、邊界、導(dǎo)集、閉包等的含義和求法l稠密集、疏朗集、孤立集的定義、性質(zhì)l開集、閉集的定義、性質(zhì)、判定、構(gòu)造lCantor集的性質(zhì)習(xí)題：5,6,7,13,16,28第三章重點(diǎn):l外測(cè)度的性質(zhì)（非負(fù)性、單調(diào)性、次可加性、次可數(shù)可加性、條件可加性、平移不變形）l測(cè)度的性質(zhì)（非負(fù)性、單調(diào)性、可加性、可數(shù)可加性、平

2、移不變形、上下連續(xù)性）l可測(cè)集全體M關(guān)于交、并、差、余的可列運(yùn)算及極限封閉，是代數(shù)。l可測(cè)集全體M的構(gòu)成、構(gòu)造（與開集閉集的關(guān)系）習(xí)題：1，2，13,25,33第四章重點(diǎn):l可測(cè)函數(shù)的定義、性質(zhì)、判定l可測(cè)函數(shù)全體是線性空間，關(guān)于極限封閉，與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系l依測(cè)度收斂，幾乎處處收斂，一致收斂的定義，它們之間的關(guān)系(Egoroff,Lebesgue,Riesz定理)。l可測(cè)函數(shù)的構(gòu)成（與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系，Lusin定理）習(xí)題：4，7，12，18,20,26第五章重點(diǎn):l積分與可積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算l極限定理（Levi定理,Fatou引理,

3、Vitali定理,Lebesgue控制收斂性定理）l積分的絕對(duì)連續(xù)性。lR-積分和L-積分間的關(guān)系習(xí)題：1，2，10，12，1412設(shè)實(shí)函數(shù)列在上定義，又設(shè).證明對(duì)，成立.證明：因，故當(dāng)時(shí)，必有，這表明，因此.另一方面，任取，由下極限的定義，知存在，使（若否，則對(duì)任意的，有，這表明，矛盾）.當(dāng)然有，故.綜上，左等于右.20空間中坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)的全體成一可數(shù)集.證明：顯然是三個(gè)可數(shù)集的乘積，從而是可數(shù)集.21中以互不相交的的開區(qū)間為元素的集合為至多可數(shù)集.證明：設(shè)該集合為.因?yàn)閷?duì)任意的開區(qū)間，存在有理數(shù).這樣，可作一映射，使得.由于中

4、的開區(qū)間是互不相交的，所以這一映射是一單射.因此，也就說明了是一至多可數(shù)集.22上單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)的全體為至多可數(shù)集.證明：不妨設(shè)函數(shù)單增.任取斷點(diǎn).由于函數(shù)單調(diào)，所以在點(diǎn)的左極限和右極限都存在，且.讓斷點(diǎn)對(duì)應(yīng)于開區(qū)間，由于函數(shù)單增，所以不同斷點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的開區(qū)間是不相交的.再利用21題即得.26中無理數(shù)的全體成一不可數(shù)集.證明：反證法.假設(shè)中無理數(shù)的全體是至多可數(shù)集，而中有理數(shù)的全體是可數(shù)集，這樣是可數(shù)集（可數(shù)集和至多可數(shù)集的并是可數(shù)集）.這與是不可數(shù)集矛盾.28證明，其中為可數(shù)基數(shù)，為連續(xù)基數(shù).證明：設(shè)，即證明的所有子集的全體的勢(shì)為

5、.作從到二進(jìn)位小數(shù)全體的映射為，其中當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椴煌募系脑夭煌耆嗤栽撚成涫菃紊?，?另一方面，作映射為，其中，該映射也是單射，因此.綜上，有.29上連續(xù)函數(shù)的全體的基數(shù)是.證明：因常函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，故.設(shè)，則它是可數(shù)集.不妨設(shè).對(duì)任意的，讓其對(duì)應(yīng)于中的實(shí)數(shù)組，則這個(gè)對(duì)應(yīng)是從到的一個(gè)單射.事實(shí)上，若是對(duì)應(yīng)于同一數(shù)組的兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，即.對(duì)任意的實(shí)數(shù)，存在有理數(shù)序列，使得.這樣由函數(shù)的連續(xù)性得到，也即，也就是說該對(duì)應(yīng)是一個(gè)單射.因此和的某子集對(duì)等，故有.綜上，.5.證明：.證明：因?yàn)?，所以?6.在中，設(shè)，求.解：7

6、.在中，設(shè)，求.解：11.證明以下三個(gè)命題等價(jià):(1)是疏朗集.(2)不含任何鄰域.(3)是稠密集.證明：(1)(2)：反證法假設(shè)存在,按閉包的等價(jià)定義,中任意點(diǎn)的任意鄰域中都含有中的點(diǎn),與疏朗集的定義矛盾.(2)(3)：由假設(shè),對(duì),,有,從而，即任一點(diǎn)的任一鄰域中都有中的點(diǎn)，也即是稠密集.(3)(1)：反證法若不是疏朗集，則存在，使得中沒有子鄰域與不相交.這實(shí)際上意味著對(duì)任意的都有,由的任意小性知道,再由的任意性知道,由此知道不是稠密的.由這個(gè)命題知道疏朗集的余集是稠密的,但稠密集的余集不一定是疏朗的,如.13.證明：疏朗集的余集必

7、是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集.證明：由第11題知若是疏朗集，則是稠密集.而由于，故，從而由是稠密集得到是稠密的.反例：和都是稠密集.16.孤立集必是至多可數(shù)集.證明：令，則是有界集列，且，故只需要證明每個(gè)是至多可數(shù)集即可.注意到也是孤立集并且有界，方便起見，不妨仍記為.這樣，問題轉(zhuǎn)為證明：有界的孤立集是至多可數(shù)集.任取，由孤立性，存在使得.（*）得到滿足（*）式開球族.明顯的，和開球族對(duì)等.對(duì)中的球按半徑分類.令是中半徑大于的球的全體.則，若能證明每個(gè)都是有限集，就得到是至多可數(shù)集，從而是至多可數(shù)集.下證明：都是有限集.注意到

8、中每個(gè)球的半徑大于，且每個(gè)球的球心不在其他的球中（由（*）式），這表明各個(gè)球心之間的距離大于.另一方面，這些球心是一致有界的.再結(jié)合有界的無限集必有收斂的子列這一命題，知中只能有有限個(gè)球.28.證明：中既開又閉的集合只能