線性代數(shù)教學課件作者劉金旺2矩陣.ppt

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1、第二章矩陣第一節(jié)　矩陣的定義第二節(jié)　矩陣的運算第三節(jié)　矩陣的逆第四節(jié)　矩陣的分塊§1矩陣的定義返回上一頁下一頁昌達公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，它們的生產(chǎn)成本由原材料費、電力費用、人工費用和其它費用四項構(gòu)成。表1.1給出了每種產(chǎn)品的每項費用的預算(單位:百元).表1.1甲乙丙1.原材料2.電力3.人工4.其他費用2073230126320852產(chǎn)品生產(chǎn)成本定義1給出m?n個數(shù),按一定順序排成一個m行n列的矩形數(shù)表此數(shù)表叫做m行n列矩陣,簡稱m?n矩陣。記為返回上一頁下一頁如果矩陣A的元素aij全為實(復)數(shù),就稱A為實(復)矩陣。只有一行的矩陣A=(a1a2...an)叫做行矩陣,行矩陣一般

2、記作A=(a1,a2,...,an)。只有一列的矩陣叫做列矩陣。兩個矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)也相等,就稱它們是同型矩陣。元素都是零的矩陣稱為零矩陣,記作O.下一頁上一頁返回在矩陣A中，如果m=n，就稱A為n階方陣。方陣叫做n階單位陣,簡記作En。特點:從左上角到右下角的直線(主對角線)上的元素都是1,其他元素都是0.下一頁上一頁返回如變量y1,y2,...,yn可由變量x1,x2,...,xn線性表示,即稱由變量x1,x2,...,xn到變量y1,y2,...,ym的變換為線性變換。它的系數(shù)構(gòu)成一矩陣(aij)m?n(稱為系數(shù)矩陣)是確定的;下一頁上一頁返回反之，如果給出了一個矩陣是線性變換的

3、系數(shù)矩陣，則線性變換也就確定了。例線性變換對應(yīng)n階矩陣這個方陣的特點:不在主對角線上的元素全為0,這種方陣稱為對角矩陣,當?1=?2=...=?n=?時,A稱為數(shù)量矩陣。下一頁上一頁返回§2矩陣的運算一、矩陣的加法定義2設(shè)有兩個m?n矩陣A=(aij),B=(bij),那么A與B的和記為A+B,規(guī)定為注意:只有當兩個矩陣同型時,才能進行加法運算。加法滿足運算規(guī)律:(1)A+B=B+A;(交換律)(2)(A+B)+C=A+(B+C).(結(jié)合律)下一頁上一頁返回二、數(shù)與矩陣相乘定義3數(shù)?與矩陣A的乘積記做?A,規(guī)定為數(shù)乘矩陣滿足運算規(guī)律:下一頁上一頁返回設(shè)矩陣A=(aij),記-A=(-1)A

4、=(-1aij)=(-aij),-A稱為A的負矩陣,顯然有A+(-A)=O.其中O為各元素均為0的同型矩陣（零矩陣）,由此規(guī)定A-B=A+(-B).下一頁上一頁返回三、矩陣與矩陣相乘定義4設(shè)A=(aij)m?s,B=(bij)s?n那么規(guī)定矩陣A與B的乘積是C=(cij)m?n,其中并把此乘積記作C=AB。行矩陣與列矩陣相乘注意：只有當?shù)谝痪仃嚕ㄗ缶仃嚕┑牧袛?shù)與第二矩陣（右矩陣）的行數(shù)相等時，兩個矩陣才能相乘。下一頁返回上一頁例求：AB和BA。解：注：表明矩陣乘法不滿足交換律。AB＝0推不出A＝0或B＝0AC＝BC且C不為0,推不出A=B(不滿足消去律)下一頁上一頁返回例設(shè)A,B分別是n×

5、1和1×n矩陣，且計算AB和BA.解下一頁上一頁返回例如果是一齊次線性方程組的系數(shù)矩陣，而分別是兩個n×1矩陣，那么該齊次線性方程組就可以寫成矩陣的形式下一頁上一頁返回矩陣的乘法滿足運算律：對于單位矩陣，有一般稱為方陣的n次冪。規(guī)定；下一頁上一頁返回方陣乘冪的應(yīng)用例某島國里每年有30℅的農(nóng)村居民移居城市,有20℅的城市居民移居農(nóng)村.假設(shè)該國總?cè)藬?shù)不變,且上述人口遷移規(guī)律也不變.該國現(xiàn)有農(nóng)村人口320萬,城市人口80萬.問該國一年后農(nóng)村與城市人口各是多少?兩年后呢?解設(shè)k年后該國農(nóng)村人口與城市人口分別為和(單位:萬),這里正整數(shù)下面計算和.由題意有下一頁上一頁返回寫成矩陣形式,即一年后,農(nóng)村

6、人口240萬,城市人口160萬.記矩陣則下一頁上一頁返回于是即2年后,農(nóng)村人口與城市人口各為200萬.類似地,不難得出下一頁上一頁返回例解用數(shù)學歸納法證明。當n=2時下一頁上一頁返回假設(shè)當k＝n－1時成立，現(xiàn)證明k＝n時也成立。下一頁上一頁返回例已知矩陣求解∵∴∴下一頁上一頁返回四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義5把矩陣A的行換成同序數(shù)的列,得到的新矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作A'。滿足運算律：下一頁上一頁返回有所以下一頁上一頁返回設(shè)A為n階方陣,若A'=A,即aij=aji(i,j=1,2,…,n),那么,A稱為對稱矩陣;若A'=-A,即aij=-aji(i,j=1,2,…,n),那么,A稱為反對稱矩陣。

7、對稱矩陣的特點:它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等。反對稱矩陣的特點:以主對角線為對稱軸的對應(yīng)元素絕對值相等,符號相反,且主對角線上各元素均為0.下一頁上一頁返回運算律(4)可推廣為:例設(shè)那么下一頁上一頁返回例設(shè)A是n階反對稱矩陣，B是n階對稱矩陣，證明AB+BA是n階反對稱矩陣.所以結(jié)論成立.證因為下一頁上一頁返回例若A為奇數(shù)階反對稱矩陣，求其行列式的值。解：設(shè)下一頁上一頁返回因為n為奇數(shù)，得即奇數(shù)階反對稱矩陣行列式為