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《偏導(dǎo)數(shù)全微分.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、偏導(dǎo)數(shù)、全微分注:2)專用于偏導(dǎo)數(shù)算符,與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號相仿,但又有差別.(既表示對函數(shù)求導(dǎo),又可表示微商.而記號、不能理解為微分之商.)1)在偏導(dǎo)數(shù)定義中,在點(diǎn)存在關(guān)于(或)的偏導(dǎo)數(shù),至少在(或)上必須有定義.偏導(dǎo)數(shù)記號是一個(gè)求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號,例.已知理想氣體的狀態(tài)方程有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：１)２)求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義；解３)偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)連續(xù)多元函數(shù)中在某點(diǎn)可偏導(dǎo)連續(xù)自然,連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在.例如,函數(shù)4.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切
2、線對x軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線對y軸的二、全微分定義:如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D的內(nèi)點(diǎn)可表示成其中A,B不依賴于?x,?y,僅與有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn)的全微分,記作若函數(shù)在域D內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D內(nèi)可微.(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微由微分定義,有得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在,即函數(shù)可偏導(dǎo)函數(shù)可微即定理(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:由全增量公式必存在,且有得到對x的偏增量因此有可微的條件反例:函數(shù)易知但
3、因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注意:定理的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:定理12.1.2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微.所以函數(shù)在點(diǎn)可微.注意到,故有多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微的關(guān)系：函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可偏導(dǎo)Seeproblem14,p.153推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是例1.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:例2.計(jì)算函數(shù)的全微分.解:
