數(shù)學(xué)分析課件 一致收斂性.ppt

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1、§1一致收斂性三、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂判別法返回對于一般項(xiàng)是函數(shù)的無窮級數(shù)，其收斂性要比數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)雜得多，特別是有關(guān)一致收斂的內(nèi)容就更為豐富，它在理論和應(yīng)用上有著重要的地位.一、函數(shù)列及其一致收斂性二、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其一致收斂性一、函數(shù)列及其一致收斂性設(shè)是一列定義在同一數(shù)集E上的函數(shù),稱為定義在E上的函數(shù)列.(1)也可記為以代入(1),可得數(shù)列如果數(shù)列(2)收斂,則稱函數(shù)列(1)在點(diǎn)收斂,稱為函數(shù)列(1)的收斂點(diǎn).如果數(shù)列(2)發(fā)散,則稱函數(shù)列(1)在點(diǎn)發(fā)散.當(dāng)函數(shù)列(1)在數(shù)集上每一點(diǎn)都收斂時(shí),就稱(1)在數(shù)集D上收斂.這時(shí)D上每一點(diǎn)都有數(shù)列的一個(gè)極限值與之相對應(yīng),根據(jù)這個(gè)對應(yīng)法則所確定

2、的D上的函數(shù),稱為函數(shù)列(1)的極限函數(shù).若將此極限函數(shù)記作f,則有或函數(shù)列極限的定義:對每一固定的,任,總存在正數(shù)N(注意:一般說來N值與給正數(shù)和,x)表示三者之間的值都有關(guān),所以有時(shí)也用N(的依賴關(guān)系),使當(dāng)時(shí),總有使函數(shù)列收斂的全體收斂點(diǎn)集合,稱為函數(shù)列的收斂域.例1上的函數(shù)列,證明它的收斂域是,且有極限函數(shù)證式所表示的函數(shù).又顯然是發(fā)散的.所以函數(shù)列在區(qū)間外都是發(fā)散的.故所討論的函數(shù)列的收斂域是這就證明了在(,1]上收斂,且極限就是(3)例2所以函數(shù)列注對于函數(shù)列,僅停留在討論在哪些點(diǎn)上收斂是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，重要的是要研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具有的解析性質(zhì)的關(guān)系.例如,能否由函數(shù)列每項(xiàng)

3、的連續(xù)性、可導(dǎo)性來判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性;或極限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或積分,是否分別是函數(shù)列每項(xiàng)導(dǎo)數(shù)或積分的極限.對這些更深刻問題的討論,必須對它在D上的收斂性提出更高的要求才行.定義1數(shù)集上，使當(dāng)時(shí)，由定義看到,一致收斂就是對D上任何一點(diǎn),函數(shù)列趨于極限函數(shù)的速度是“一致”的.這種一致性體現(xiàn)顯然,若函數(shù)列在D上一致收斂,則必在D上每一點(diǎn)都收斂.反之,在D上每一點(diǎn)都收斂的函數(shù)列,它在D上不一定一致收斂.為:與相對應(yīng)的N僅與有關(guān),而與x在D上的取值無關(guān),因而把這個(gè)對所有x都適用的N寫作例2中的函數(shù)列是一致收斂的,因?yàn)閷θ我饨o定的取上什么值,都有,,所以函數(shù)列在D上不一致收斂于f的正面陳述是:

4、存在某正數(shù)對任何正數(shù)N,都有某一點(diǎn)的取值與N有關(guān)),(注意:使得由例1中知道,下面來證明這個(gè)結(jié)論.事實(shí)上,若取就有號大于與狀區(qū)域之內(nèi).圖13-1從幾何意義上看,就是存在某個(gè)預(yù)先給定的(<1),無論N多么大,總存在某條曲線只限于在區(qū)間上,則容易看到,只要不能全部落在由夾成的帶狀區(qū)域內(nèi)(圖13-2).若函數(shù)列曲線就全部落在所夾成的帶狀區(qū)域內(nèi)，所以上是一致收斂的.定理13.1(函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則)函數(shù)列在數(shù)集上一致收斂的充要條件是:對任給正數(shù),總存在正數(shù)N,使當(dāng)對一切,都有證必要性，任給>0,存在正數(shù)N,使得當(dāng)時(shí),對一切都有充分性若條件(4)成立,由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則,在D上任一點(diǎn)都收斂

5、,記其極限函數(shù)為由定義1知,根據(jù)一致收斂定義可推出下述定理:定理13.2（余項(xiàng)準(zhǔn)則）上一致收斂于的充分必要條件是:,當(dāng),存在不依賴于任給的正數(shù)的正整數(shù)證必要性則對由上確界的定義,對所有,也有這就得到了(6)式.充分性由假設(shè),對任給>0,存在正整數(shù)N,使得有注柯西準(zhǔn)則的特點(diǎn)是不需要知道極限函數(shù)是什么,只是根據(jù)函數(shù)列本身的特性來判斷函數(shù)列是否一致收斂,而使用余項(xiàng)準(zhǔn)則需要知道極限函數(shù),但使用較為方便.如例2,由于故由(7)式得例3定義在[0,1]上的函數(shù)列的圖像如圖13-3所示.所以函數(shù)列(8)在上不一致收斂.例4討論函數(shù)例的一致收斂性.解為了使用余項(xiàng)準(zhǔn)則,首先求出函數(shù)列的極限函數(shù).易見于是容

6、易驗(yàn)證在上只有惟一的極大值點(diǎn),因此為最大值點(diǎn).于是根據(jù)余項(xiàng)準(zhǔn)則知該函數(shù)列在上不一致收斂.注不一致收斂是因?yàn)楹瘮?shù)列余的增大一致趨于零項(xiàng)的數(shù)值在附近不能隨(見圖13-4),因此對任何不含原點(diǎn)的區(qū)間在該區(qū)間上一致收斂于零.圖13–4二、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其一致收斂性稱為定義在E上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù),為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(9)的部分和函數(shù)列.收斂,即部分和當(dāng)時(shí)極限存在,則稱級數(shù)(9)在點(diǎn)收斂,稱為級數(shù)(9)的收斂點(diǎn).若級數(shù)(11)發(fā)散,則稱級數(shù)(9)在點(diǎn)發(fā)散.若級數(shù)(9)在E的某個(gè)子集D上每點(diǎn)都收斂,則稱級數(shù)(9)在D上收斂.若D為級數(shù)(9)全體收斂點(diǎn)的集合,這時(shí)就稱D為級數(shù)(9)的收斂域.級數(shù)(9)在D上每一點(diǎn)x

7、與其所對應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級數(shù)(11)的和構(gòu)成一個(gè)定義在D上的函數(shù),稱為級數(shù)(9)的和函數(shù),并記作即也就是說,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(9)的收斂性就是指它的部分和函數(shù)列(10)的收斂性.例5定義2則稱由于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù)列來確定,所以得到的有關(guān)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的定理.定理13.3(一致收斂的柯西準(zhǔn)則)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件為:對任,存在正整數(shù)給的正數(shù)，使當(dāng)對一切和或此定理中當(dāng)p=1時(shí),得到函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的一個(gè)必要條件