《不定方程與同余》課件.ppt

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1、2.6不定方程與同余人教B版數(shù)學(xué)選修4-6《初等數(shù)論初步》同余式和不定方程是數(shù)論中古老而富有魅力的內(nèi)容.考慮數(shù)學(xué)競(jìng)賽的需要,下面介紹有關(guān)的基本內(nèi)容.定義:設(shè)a、b、m為整數(shù)（m＞0），若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余.記為或一切整數(shù)n可以按照某個(gè)自然數(shù)m作為除數(shù)的余數(shù)進(jìn)行分類，即n=pm+r（r=0，1，…，m-1），恰好m個(gè)數(shù)類.于是同余的概念可理解為,若對(duì)n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2對(duì)模m的同余，即它們用m除所得的余數(shù)相等.1.同余式及其應(yīng)用(1)若,則m

2、(b-a).反過(guò)來(lái),若m

3、(b-a),則;(2)

4、如果a=km+b(k為整數(shù)),則;(3)每個(gè)整數(shù)恰與0,1,…，m-1，這m個(gè)整數(shù)中的某一個(gè)對(duì)模m同余；(4)同余關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系：①反身性；②對(duì)稱性，則，反之亦然.③傳遞性，則；（5）如果，，則①；②特別地利用整數(shù)的剩余類表示,可以證明同余式的下述簡(jiǎn)單性質(zhì):例1（1898年匈牙利奧林匹克競(jìng)賽題）求使2n+1能被3整除的一切自然數(shù)n.解∵∴則2n+1∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2n+1能被3整除；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2n+1不能被3整除.應(yīng)用同余式的上述性質(zhì)，可以解決許多有關(guān)整數(shù)的問(wèn)題.例2求2999最后兩位數(shù)碼.解考慮用100除2999所得的余數(shù).∵∴又∴∴∴2999的最后

5、兩位數(shù)字為88.例3求證31980+41981能被5整除.證明∵∴∴∴不定方程的問(wèn)題主要有兩大類：判斷不定方程有無(wú)整數(shù)解或解的個(gè)數(shù)；如果不定方程有整數(shù)解，采取正確的方法，求出全部整數(shù)解.(1)不定方程解的判定如果方程的兩端對(duì)同一個(gè)模m(常數(shù))不同余,顯然,這個(gè)方程必?zé)o整數(shù)解.而方程如有解則解必為奇數(shù)、偶數(shù)兩種，因而可以在奇偶性分析的基礎(chǔ)上應(yīng)用同余概念判定方程有無(wú)整數(shù)解.2．不定方程例4證明方程2x2-5y2=7無(wú)整數(shù)解.證明∵2x2=5y2+7，顯然y為奇數(shù).①若x為偶數(shù)，則∴∵方程兩邊對(duì)同一整數(shù)8的余數(shù)不等，∴x不能為偶數(shù).②若x為奇數(shù)，則但5y2+7∴x不

6、能為奇數(shù).因則原方程無(wú)整數(shù)解.用整數(shù)的整除性來(lái)判定方程有無(wú)整數(shù)解,是我們解答這類問(wèn)題的常用方法.說(shuō)明:設(shè)2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某個(gè)數(shù)，但是這時(shí)（2x+3y）2+5=（17n）2+34na+（a2+5）=a2+5（mod17），而a2+5被17整除得的余數(shù)分別是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情況下（2x+3y）2+5都不能被17整除，這與它能被17整除矛盾.故不存在整數(shù)x，y使①成立.例7滿足方程x2+y2=x3的正整數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù)是（）.（A）0（B）1（C）2（D）無(wú)限個(gè)

7、（E）上述結(jié)論都不對(duì)解由x2+y2=x3得y2=x2（x-1），所以只要x-1為自然數(shù)的平方，則方程必有正整數(shù)解.令x-1=k2(k為自然數(shù)),則為方程的一組通解.由于自然數(shù)有無(wú)限多個(gè),故滿足方程的正整數(shù)對(duì)(x,y)有無(wú)限多個(gè),應(yīng)選(D).說(shuō)明:可用寫出方程的一組通解的方法,判定方程有無(wú)數(shù)個(gè)解.(2)不定方程的解法不定方程沒(méi)有統(tǒng)一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（質(zhì)因數(shù)）分解法、不等式法、奇偶分析法和余數(shù)分析法.對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?并正確應(yīng)用整數(shù)的性質(zhì)是解不定方程的基本思路.例6求方程的整數(shù)解.解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.在勾

8、股數(shù)中,最大的一個(gè)為13的只有一組即5,12,13,因此有8對(duì)整數(shù)的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程組的解只能是下面的八個(gè)方程組的解解得回憶一下我們本節(jié)學(xué)了什么？TheEnd