高考數(shù)學(xué)《數(shù)形結(jié)合思想》在解題中應(yīng)用論文.doc

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1、《數(shù)形結(jié)合思想》在解題中的應(yīng)用一、數(shù)形結(jié)合思想的提出在高中數(shù)學(xué)解析幾何這一模塊中，處理問題的方法常見有代數(shù)法和幾何法。代數(shù)法是從“數(shù)”的角度解決問題、幾何法從“形”的角度解決問題，這兩種方法相輔相成，相得益彰。現(xiàn)舉例如下：若直線與曲線恰有一個公共點(diǎn)，求k的取值范圍.解：（代數(shù)法）曲線方程可化為，把代入可得：（），由題意可知方程僅有一個非負(fù)根①當(dāng)方程有等根時，即=0，可得，當(dāng)時，方程可化為，得不合題意；當(dāng)時，方程為得符合題意，可知；②當(dāng)方程根為時，得，，當(dāng)時，方程為，得方程兩個根為，不合題意應(yīng)舍去；當(dāng)時，方程為，得方程兩個根為，適合題意，可知；③當(dāng)方程根為一

2、正一負(fù)時，只需，可得。綜上所述：所求k的取值范圍為或。（幾何法）曲線是單位圓的右半圓（），k是直線在y軸上的截距.在同一坐標(biāo)系中畫出兩曲線圖像如圖所示知：直線與曲線相切時，，由圖形：可得或。上述兩種解法可以看出利用代數(shù)法求解過程較為復(fù)雜、繁瑣且容易錯；而利用幾何法即一種數(shù)形結(jié)合的思想方法，卻能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，它在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨(dú)特的指導(dǎo)作用。二、數(shù)形結(jié)合思想的概述數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個最古老、最基本的元素，是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石。在解決數(shù)學(xué)問題時，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問題利用形來觀察，揭示用心愛心專心其幾何

3、意義；而形的問題也常借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義，如此將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決的方法稱之為數(shù)形結(jié)合的思想方法。數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系

4、，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。三、數(shù)形結(jié)合思想解題方法指導(dǎo)1．轉(zhuǎn)換數(shù)與形的三條途徑：①通過坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量化靜為動，以動求解。②轉(zhuǎn)化，通過分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化到另一個角度來考慮，如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點(diǎn)間的距離等。③構(gòu)造，比如構(gòu)造一個幾何圖形，構(gòu)造一個函數(shù)，構(gòu)造一個圖表等。2．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的三種類型及思維方法：①“由形化數(shù)”：就是借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，提示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何圖形內(nèi)在的屬性。②“由數(shù)化形”：就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的

5、數(shù)量關(guān)系，提示出數(shù)與式的本質(zhì)特征。③“數(shù)形轉(zhuǎn)換”：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。四、數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用1、化靜為動用圖像例1已知：有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，若直線與有向線段延長線相交，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：題中直線是一條過定點(diǎn)的動直線系，而有向線段是一條定的有向線段，要使直線與有向線段延長線相交，可先找到過一個臨界點(diǎn)，再從運(yùn)動觀點(diǎn)促使直線的斜率在某一范圍內(nèi)，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：直線的方程可化為點(diǎn)斜式：，易知直線過定點(diǎn)且斜率為

6、，因?yàn)榕c的延長線相交，由數(shù)形結(jié)合可得：當(dāng)過且與平行時，直線的斜率趨近于最小；當(dāng)過點(diǎn)時，直線的斜率趨近于最大，又，用心愛心專心，設(shè)直線的斜率為，由,得所以評注：含有一個變量的直線方程可化為點(diǎn)斜式或化為經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程.本題是化為點(diǎn)斜式方程后，可看出交點(diǎn)和斜率，此類題目一般結(jié)合圖形化靜為動，以動求解，可判斷出斜率的取值范圍。2、破解疑難構(gòu)圖像例2求函數(shù)的值域。分析：本題可以把函數(shù)化為關(guān)于的三角函數(shù)，然后利用其有界性求值域，但其運(yùn)算量大，對學(xué)生的運(yùn)算能力有較高要求，有一定難度。此題可看成過兩點(diǎn)（）,構(gòu)成直線的斜率的范圍，又（）在一個單位圓上，故可構(gòu)造圖

7、像求此函數(shù)值域。解：的形式類似于斜率公式M表示過兩點(diǎn)（）,構(gòu)成直線的斜率由于點(diǎn)在單位圓上，如圖，顯然，設(shè)過的圓的切線方程為則有，解得，即，評注：本題考查了三角函數(shù)值域與直線斜率之間的內(nèi)在聯(lián)系，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力。在解決三角函數(shù)的有關(guān)問題時，若把三角函數(shù)的性質(zhì)、化簡的形式通過構(gòu)造思想融于函數(shù)的圖象之中，將數(shù)（量）與圖形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究，使抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來，這是解決三角函數(shù)問題的一種思維策略。3、尋求正解配圖像例3設(shè)A=，B=，C=，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。用心愛心專心分析：解決本題的關(guān)鍵是依靠二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確

8、定集合C，進(jìn)而用不等式將這一集合語言加以轉(zhuǎn)化。解：∵在上是增函數(shù)，