淺談幻方以及其解法.doc

《淺談幻方以及其解法.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。

1、學號1250901205學年論文（2016屆本科）題目：淺談幻方以及其解法學院：數(shù)學與統(tǒng)計學院專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學作者：甘天明指導教師：任天勝職稱:副教授完成日期：2014年12月18日淺談幻方以及其解法甘天明指導教師：任天勝(河西學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2016屆2班05號734000)摘要多少世紀以來，人們對幻方總是懷著濃厚的興趣，從古代起幻方就跟某些超自然和魔術的領域相聯(lián)系。在古代亞洲的城市，人們在考古挖掘中發(fā)現(xiàn)了它們。有關幻方的最早紀錄，是約于公元前2200年在中國出現(xiàn)的“洛書”，傳說這個幻方最初是大禹

2、在黃河岸邊的一只神龜?shù)谋成峡吹降?。幻方，有時又稱魔方（該稱呼現(xiàn)一般指立方體的魔術方塊）或縱橫圖，有一組排放在正方形中的整數(shù)組成，其每行、每列以及兩條對角線上的數(shù)之和均相等?；梅狡鹪从谖覈?，并由我國傳到全世界，在這漫長的歷史中，幻方也得到了廣泛的發(fā)展和進步。本文主要分為兩部分，第一部分從幻方的歷史和發(fā)展，幻方問題的研究以及幻方的應用來認識幻方；第二部分主要介紹幻方的解法。關鍵字:幻方；幻和；奇幻方；偶幻方.1引言我國的縱橫圖通過東南亞國家,印度和阿拉伯傳到西方。由于縱橫圖具有十分奇幻的特性，西方把縱橫圖叫做Ma

3、gicSquare，翻譯成中文就是“幻方”或“魔方”。在一個由若干個排列整齊的數(shù)組成的正方形中，圖中任意一橫行、一縱列及對角線的幾個數(shù)之和都相等，具有這種性質的圖表，稱為“幻方”?；梅絾栴}是具有悠久歷史的復雜排列組合問題?；梅絾栴}的復雜性不僅在于解的多樣性隨階數(shù)指數(shù)遞增，而且在于解在可行排列空間中所占的比例隨階數(shù)指數(shù)遞減。此外，在文章中，簡單介紹了幻方在數(shù)學、智力開發(fā)、科學以及藝術中的應用，我們從多個角度去探尋幻方的歷史，發(fā)展和在現(xiàn)實生活中的應用，以此來進一步加深對幻方的理解。在文章第二部分，也介紹了幻方的幾

4、種解法，從不同的角度對幻方的解法做了一點討論與研究。2預備知識定義2.1幻方，也叫縱橫圖，就是在的方陣中，放入從1開始的個自然數(shù)，在一定的布局下，其各行、各列和兩條對角線上的數(shù)字之和正好相等。定義2.2幻方的各行、各列和兩條對角線上的數(shù)字之和相等的和數(shù)即為幻和，也叫幻方常數(shù)。定義2.3奇階幻方：當幻方中的n為奇數(shù)時，我們稱幻方為奇階幻方。定義2.4偶階幻方：當幻方中的n為偶數(shù)時，我們稱幻方為偶階幻方。3幻方的歷史和發(fā)展關于幻方的起源，我國有“河圖”和“洛書”之說。相傳在遠古時期，伏羲氏取得天下，把國家治理得井

5、井有條，感動了上天，于是黃河中躍出一匹龍馬，背上馱著一圖，作為禮物獻給他，這就是“河圖”，也是最早的幻方。伏羲氏憑借著“河圖”而演繹出了八卦，后來大禹治洪水時，洛水中浮出一只大烏龜，它的背上有圖有字，人們稱之為“洛書”。大約在8世紀，中國的幻方記述傳入阿拉伯地區(qū)。該地區(qū)的人們對幻方產生了極大興趣，并做出重要貢獻。塔比伊本·庫拉較早研究了幻方。約990年，一批阿拉伯學者編的本百科全書中可找到3，4，5，6階幻方，并說明7，8，9階幻方的存在。幻方1315年前后傳人西方后，最初被賦予一種神秘性或作為護身符，成為神

6、秘哲學的一部分，或是在一些場合中作為有趣的數(shù)學游戲。但當時并未引起人們的深思和研究。在中國，宋朝輝的《續(xù)古摘奇算法》輯錄了更高階的幻方(至10階)，他最早從數(shù)學角度研究了洛書的構造法以及其他6種變形幻方。它們同樣具有某些組合性質。輝還構造出9個洛書構成的大幻方，如果洛書中的第列第行數(shù)記為。輝之后易東、程大位、王文素，清朝方中邐、潮、保其壽對幻方及變形幻方有深入的研究。形式也趨于多樣化。除了這些以外，歷史上最早的四階幻方是在印度發(fā)現(xiàn)的,那是一個完全幻方，而且比中國的輝還要早了兩百多年,印度人認為那是天神的手筆。

7、直到中世紀后．歐洲的一些數(shù)學著作中才開始出現(xiàn)討論幻方及其改造的容，如卡爾丹諾給出了分別以日、月和五星為名的幻方及構造法。7世紀，日本對幻方也產生很濃的興趣，主要是關孝和對幻方和幻圓理論的研究。現(xiàn)在的幻方種類很多，如一般幻方，對稱幻方，同心幻方，完美幻方。平面幻方(二維)，幻立方(三維)，多維幻方。平方幻方，立方幻方，高次幻方，高次多維幻方。魔鬼幻方，馬步幻方，多重幻方，六角幻方，雙料幻方，幻環(huán)，幻圓等等。特殊的幻方有反幻方，完美反幻方。4幻方問題與研究幻方問題是具有悠久歷史的復雜排列組合問題?；梅絾栴}的復雜性

8、不僅在于解的多樣性隨階數(shù)指數(shù)遞增，而且在于解在可行排列空間中所占的比例隨階數(shù)指數(shù)遞減。在以前，人們只能靠手算得到一些較低階的幻方。河圖、洛書不過是兩個簡單的四階幻方，古人也將其視為上天賜予的神物。然而幻方的許多性質，從低階幻方中總是很難發(fā)現(xiàn)。Kraitchik在1942年分別給出奇數(shù)階與偶數(shù)階幻方的確定構造方法，但卻不能構造任意隨機幻方，更不能構造有附加條件或二次以上的幻方。在幻方研究中常常需要構造