線性空間維數(shù)與基的求法.pdf

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1、2011年第5期No.5.2011高等教育總第107期Sum107線性空間維數(shù)與基的求法王　康（呂梁學(xué)院汾陽師范分校山西呂梁032200）摘　要：線性空間作為高等代數(shù)中的一個重要概念，而線性空間的維數(shù)與基又是線性空間的一個基本屬性，是我們認(rèn)識線性空間的一個重要信息，二者必須深入理解。本文從數(shù)域?qū)€性空間的各個方面的影響說明來它所起的作用，在此基礎(chǔ)上探討了求維數(shù)與基的一般方法和步驟。關(guān)鍵詞：線性空間；數(shù)域；概念；維數(shù)與基的求法中圖分類號：O151.2文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1000-9795（2011）05-0121-01維數(shù)與基是線性空間的一個基本屬性，它的確立對于

2、我們認(rèn)征值為。所以，矩陣在實數(shù)域識線性空間有著很大的作用。因為確定了維數(shù)和基以后線性空間上是無法相似于一個對角矩陣的，而在復(fù)數(shù)域上可以。上任意向量的坐標(biāo)(即元數(shù)組)也就相應(yīng)確定了，在學(xué)習(xí)了線性空間3.數(shù)域?qū)σ幌蛄拷M線性相關(guān)性判別的影響的同構(gòu)的知識后會知道，任意維線性空間都與同構(gòu)，這樣，我一般我們判定一組向量的線性相關(guān)性，是根據(jù)們可以通過的性質(zhì)來研究任意線性空間的性質(zhì)。向量方程的系數(shù)是否是全為零來判定的。同時對維數(shù)與基概念的把握也是我們后面學(xué)習(xí)線性空間的同而應(yīng)該是在某一個特定數(shù)域內(nèi)來求解的。比如在維構(gòu)、線性變換、歐氏空間的基礎(chǔ)。但是，鑒于它是線性空間的一個數(shù)確定的問題

3、上，我們通常的做法是這樣的：先取一個非零向量，基本概念，多數(shù)教科書對于該部分的處理往往是泛泛而談，比如文在此基礎(chǔ)上再添加非零向量進(jìn)行擴(kuò)充，然后判斷所得向量組是否線獻(xiàn)1例3更是一筆帶過，這對學(xué)生深入理解相關(guān)概念造成了一定性無關(guān)，進(jìn)而求得線性空間中的一極大無關(guān)組來確定維數(shù)。的障礙。雖然它的求法沒有統(tǒng)一的方法，但卻有著一致的要求，即例4：分別在復(fù)數(shù)域上和實數(shù)域上考慮，任意兩個非零復(fù)數(shù)要符合定義。本文計劃從以下兩方面對維數(shù)與基的求法做進(jìn)一步的和的線性相關(guān)性，當(dāng)然這里的數(shù)組與是不能歸納和總結(jié)，同時也是對《高等代數(shù)》例3的補充說明，希望對對應(yīng)成比例的初學(xué)者認(rèn)識線性空間以及后續(xù)的

4、學(xué)習(xí)有一定的幫助。解：在復(fù)數(shù)域上求解向量方程，可以一、數(shù)域上的線性空間——數(shù)域的作用和角色取，，所以在復(fù)數(shù)域上兩個非零復(fù)數(shù)和凡是涉及數(shù)與空間中向量(取自集合中的元素)的乘積，即通常所說的數(shù)量乘法，其中的數(shù)都是取自數(shù)域。例如：線性變換、是線性相關(guān)的。同構(gòu)定義中的第二條保持?jǐn)?shù)量乘法，判別向量的線性相關(guān)性等這些而在實數(shù)域上求解的話，只能求得，所以在實數(shù)域問題都是依賴數(shù)域的。同一線性空間指定數(shù)域的不同，通常對上兩個非零復(fù)數(shù)和是線性無關(guān)的。同理，如果再任意添于我們的結(jié)果也會造成很大差別。加非零向量則可判斷必然線性相關(guān)。1.數(shù)域?qū)€性空間的線性變換判別的影響可見，復(fù)數(shù)域在復(fù)數(shù)域

5、上考慮極大線性無關(guān)組是任意非零復(fù)數(shù)例1：把復(fù)數(shù)域看作復(fù)數(shù)域上的線性空間，，而在實數(shù)域上考慮極大線性無關(guān)組則是任意兩個非零復(fù)數(shù)解：舉反例如下，系數(shù)取自復(fù)數(shù)域，和。綜上所述，在處理與線性空間有關(guān)的問題時，涉及到數(shù)乘向量，而，顯然的運算的時候，其中數(shù)的范圍均不能離開線性空間依賴的數(shù)域，，故變換不是線性的。而這一點也正是從線性空間的定義中來。例2：把復(fù)數(shù)域看作實數(shù)域上的線性空間，二、線性空間的基該如何確定解：系數(shù)取自實數(shù)域，，1.基是不唯一的，容易驗證也保持根據(jù)基的定義，只要是線性空間中的極大線性無關(guān)向量組向量的加法，故是線性的。都可以作為的一組基。但是，為了用坐標(biāo)(維向量

6、)表示向量的方可見，同一線性空間的同一變換在不同數(shù)域上有些是線性的，便，基的選取要盡量簡單，但都要符合這一基線性無關(guān)的基本要有些不是線性的。求。2.數(shù)域?qū)€性變換特征值及矩陣可否對角化的影響2.如何確定文獻(xiàn)1中關(guān)于線性變換特征值的定義是要求符合等式在線性空間中任取一向量，將其表成線性空間一線性無關(guān)中的是取自線性空間所依賴的數(shù)域的，也就是說線性空間的向量組的線性組合的形式，必要的話需說明向量組是線性無關(guān)的。線性變換特征值的求解范圍數(shù)域。進(jìn)而，根據(jù)同一線性變換在不這一線性無關(guān)向量組就是我們要找的基。同基下矩陣相似的性質(zhì)將任一矩陣對角化的時候，也就會產(chǎn)生不同例5：求與的交

7、的基和維數(shù)。的結(jié)果。設(shè)例3：線性變換在某一組基下的矩陣為，易知解：任取，則，且它的特征多項式是，那么它在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上的解的情況，，(注：此時是不一樣的，在實數(shù)域上的特征值為，而在復(fù)數(shù)域上的特（下轉(zhuǎn)第128頁）收稿日期：2011-08-11作者簡介：王　康（1982-），男，山西芮城人，從事代數(shù)幾何教學(xué)方向的研究。1212011年第5期No.5.2011佳木斯教育學(xué)院學(xué)報總第107期Sum107院校的教師溝通畢業(yè)設(shè)計相關(guān)事宜，一定程度上也監(jiān)督了畢業(yè)設(shè)計4.明確評分標(biāo)準(zhǔn)(論文)指導(dǎo)教師的職責(zé)履行。畢業(yè)設(shè)計的最后階段就是考核，如何合理科學(xué)地評判成績是教2.加強檢查