《復(fù)變函與積分變換》.doc

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1、《復(fù)變函數(shù)與積分變換》試卷十滿分：100分考試時間：120分鐘題號一二三四五總分???????一、判斷題（每空2分，共20分）1、實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)的真子集，任何實(shí)數(shù)都是復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)不一定是實(shí)數(shù)，一個復(fù)數(shù)成為實(shí)數(shù)的充要條件是。（）2、任何復(fù)數(shù)的n次方根都有n個，這些n次方根在單位圓上，將單位圓等分，連接它們就可以構(gòu)成單位圓上的正多邊形。（）3、在工程實(shí)際中，許多物理現(xiàn)象都具有一種脈沖特征，它們僅在某一瞬間獲某一點(diǎn)出現(xiàn)，如脈沖電流等等，對于脈沖函數(shù)，有性質(zhì)稱為篩選性質(zhì)。（）4、復(fù)變函數(shù)在處沒有意義，是它的孤立奇點(diǎn)，而且是本性奇點(diǎn)。（）5、如果

2、復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析（常數(shù)也是解析函數(shù)），則的模在區(qū)域的邊界上取不到最大值和最小值，最值只能在區(qū)域內(nèi)取到，這稱為最大模原理。（）６、冪級數(shù)的收斂半徑計(jì)算公式，則冪級數(shù)的收斂半徑為。（）7、共性映射是復(fù)變函數(shù)一個很重要的內(nèi)容，而分式線性變換是最簡單的共性映射，分式線性變換把圓周變成圓周，具有保圓性，而且能將角形區(qū)域共形映射成帶形區(qū)域。（）8、復(fù)變函數(shù)的定義域?yàn)檎麄€復(fù)平面，它在復(fù)平面上處處連續(xù)，處處可微分，處處解析，其積分與路徑無關(guān)。（）9、如果是復(fù)變函數(shù)的可去奇點(diǎn)，則，如果是復(fù)變函數(shù)的極點(diǎn)，則，如果是復(fù)變函數(shù)的本性奇點(diǎn)，則，因此只要

3、是復(fù)變函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，就有。（）10、。（）二、填空（2*10=20）11．兩將復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和的正的平方根的值稱為該復(fù)數(shù)的模，記作，已知，則的模為__________.12．柯西（Cauchy，AugustinLouis1789-1857），出生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦中一直擔(dān)任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護(hù)波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒。并且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，有很高的建樹和造詣。很多數(shù)學(xué)的定理和公式也都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式...他在

4、純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功力是相當(dāng)深厚的，在數(shù)學(xué)寫作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，其中有些還是經(jīng)典之作，不過并不是他所有的創(chuàng)作質(zhì)量都很高，因此他還曾被人批評高產(chǎn)而輕率，這點(diǎn)倒是與數(shù)學(xué)王子相反，據(jù)說，法國科學(xué)院''會刊''創(chuàng)刊的時候，由于柯西的作品實(shí)在太多，以致于科學(xué)院要負(fù)擔(dān)很大的印刷費(fèi)用，超出科學(xué)院的預(yù)算，因此，科學(xué)院后來規(guī)定論文最長的只能有四頁，所以，柯西較長的論文只得投稿到其它地方?？挛髟谟啄陼r，他的父親常帶領(lǐng)他到法國參議院內(nèi)的辦公室，并且在那里指導(dǎo)他進(jìn)行學(xué)習(xí)，因此他有機(jī)會遇到參議員拉普

5、拉斯和拉格朗日兩位大數(shù)學(xué)家。他們對他的才能十分賞識；拉格朗日認(rèn)為他將來必定會成為大數(shù)學(xué)家，但建議他的父親在他學(xué)好文科前不要學(xué)數(shù)學(xué)。柯西、黎曼和外爾斯特拉斯是世人公認(rèn)的復(fù)函數(shù)論的主要奠基人，而且后來證明在處理復(fù)函數(shù)理論的方法上黎曼的方法是本質(zhì)的，柯西和黎曼的思想被融合起來。柯西-黎曼條件解析函數(shù)一個重要條件。復(fù)平面上解析函數(shù)滿足的柯西-黎曼條件為__________.13．復(fù)變函數(shù)的一個周期是__________.14、歐拉公式是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個公式，把指數(shù)函數(shù)寫成正弦函數(shù)做虛部、余弦函數(shù)做實(shí)部的一個恒等式。運(yùn)用自己的思維，看

6、能不能將“e，π，i，1，+，0，=”六個符號連成一個合理的等式，每個符號只能用一次且不能重復(fù)使用__________.15、若函數(shù)在簡單正向閉曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)解析，在區(qū)域的邊界上連續(xù)，是區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)，則有，稱為柯西積分公式，利用柯西積分公式計(jì)算__________.16、）稱為交比，分式線性變換具有保交比性,即利用該性質(zhì)計(jì)算，把將z=,0和1分別對應(yīng)和的分式線性變換為__________.17、如下圖，分式線性變換將上半平面保形變換成單位圓，你知道哪一點(diǎn)變成了圓心嗎？__________.18、，為非零實(shí)數(shù)，則，已知是在傅里

7、葉變換下的原像。求。__________.19、復(fù)變函數(shù)的零點(diǎn)有那些？__________.20、復(fù)變函數(shù)在點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)角為__________.（已知復(fù)變函數(shù)在點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)角為三、解答題，應(yīng)用積分變換知識解答下列題目（每題５分，共3５分）１、計(jì)算２、計(jì)算（提示：解析函數(shù)積分與路徑無關(guān)，只與起點(diǎn)和末點(diǎn)有關(guān)，本題可以用原函數(shù)方法）其中積分曲線為３、利用留數(shù)計(jì)算廣義積分已知：4、求函數(shù)的傅氏變換及其積分表達(dá)式，其中，這個函數(shù)稱為指數(shù)衰減函數(shù),在工程中常遇到.５、用拉普拉斯積分變換性質(zhì)已知：求解微分方程組6、設(shè)試證：在原點(diǎn)滿足條件。7、求函

8、數(shù)在不同區(qū)域（1）（2）的羅朗展式。四、用所學(xué)知識說明什么是什么是復(fù)變函數(shù)，復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)有什么區(qū)別，復(fù)變函數(shù)有哪些類型？研究復(fù)變函數(shù)的方法有哪些？舉例說明如何研究復(fù)變函數(shù)，復(fù)變函數(shù)有哪些應(yīng)用？（10分）五、實(shí)驗(yàn)題（１5分）1、舉例說明如何用M