電磁場(chǎng)理論第4章：靜態(tài)場(chǎng)的解課件.ppt

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1、第四章靜態(tài)場(chǎng)的解*4.1邊值問題的分類*4.2唯一性定理4.3鏡像法4.4分離變量法*4.5復(fù)變函數(shù)法*4.6格林函數(shù)法*4.7有限差分法*4.1邊值問題的分類第一類邊值問題：給定整個(gè)邊界上的位函數(shù)值；第二類邊值問題：給定邊界上每一點(diǎn)位函數(shù)的法向?qū)?shù)；第三類邊值問題：給定一部分邊界上每一點(diǎn)的電位，同時(shí)給定另一部分邊界上每一點(diǎn)的電位法向?qū)?shù)。給定導(dǎo)體上的總電量亦屬于第二類邊值問題。4.2唯一性定理滿足邊界條件和拉普拉斯方程的解是唯一的！4.3鏡像法4.3.1平面鏡像法例4-1置于無限大接地導(dǎo)體平面上方，距導(dǎo)體面為h處有一點(diǎn)電荷q，求導(dǎo)體上方的電位。無限大導(dǎo)體平面上

2、點(diǎn)電荷的鏡像xz0φ（導(dǎo)體下方因屏蔽電位為零）當(dāng)z>0時(shí)，▽2φ=0(q點(diǎn)除外）當(dāng)z=0時(shí)，φ=0當(dāng)z→∞時(shí)，φ=0解：用-q電荷代替導(dǎo)體面上電荷所產(chǎn)生的電位于是，導(dǎo)體面上任一點(diǎn)的電位是由電荷q與鏡像電荷-q產(chǎn)生電位的疊加由由Dn=ρS可得導(dǎo)體表面(z=0)的面電荷密度：導(dǎo)體表面總的感應(yīng)電荷：（查高數(shù)積分公式可得）討論：由上題結(jié)論可以處理下面問題相互正交的兩個(gè)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像4.3.2球面鏡像法例4-2如圖所示，一個(gè)半徑為a的接地導(dǎo)體球，一點(diǎn)電荷q位于距球心d處，求球外任一點(diǎn)的電位。球面鏡像原問題；等效問題0P00AB解：我們先試探用一個(gè)鏡像電荷q′等效球面上的感應(yīng)面

3、電荷在球外產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)。從對(duì)稱性考慮，鏡像電荷q′應(yīng)置于球心與電荷q的連線上，設(shè)q′離球心距離為b(b

4、′位置和大小同上，q″的位置也在原點(diǎn)，但q″=Q-q′,即q″=Q+qa/d。*4.3.4平面介質(zhì)鏡像法例4-6設(shè)兩種介電常數(shù)分別為ε1、ε2的介質(zhì)充填于x<0及x>0的半空間，在介質(zhì)2中點(diǎn)(d,0,0)處有一點(diǎn)電荷q,如圖4-7(a)所示，求空間各點(diǎn)的電位。圖4-7例4-6用圖(a)介質(zhì)鏡像問題；(b)區(qū)域2等效；(c)區(qū)域1等效解：右半空間任一點(diǎn)的電位為左半空間任一點(diǎn)的電位為其中q′和q″待定。4.4分離變量法4.4.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程為設(shè)φ可以表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，即分離變量然后用XYZ除上式，得于是，有：（α、β、γ為常數(shù)）當(dāng)α=0時(shí)

5、，則當(dāng)α=jkx(kx為實(shí)數(shù))，則該式也可表示為如下的指數(shù)形式：（特點(diǎn)：有多個(gè)零點(diǎn)）（特點(diǎn)：只有一個(gè)零點(diǎn)，解可為常數(shù)）當(dāng)α=kx(kx實(shí)數(shù))，則該式也可表示為如下的指數(shù)形式：（特點(diǎn)：只有一個(gè)零點(diǎn)，sh0=0）ch0=1例4-7橫截面如圖4-8所示的導(dǎo)體長(zhǎng)槽，上方有一塊與槽相互絕緣的導(dǎo)體蓋板，截面尺寸為a×b，槽體的電位為零，蓋板的電位為U0，求此區(qū)域內(nèi)的電位。圖4-8矩形截面導(dǎo)體槽0解：本題的電位與z無關(guān)，只是x、y的函數(shù)，即φ=φ(x,y)。在區(qū)域0

6、,0)=0④y=b,φ(x,b)=U0即kxa=nπ或kx=nπ/a(n=1,2,3,…)，這樣得到X(x)=a1sin(nπx/a)。由于α2+β2=0，所以得到Y(jié)(y)的形式為指數(shù)函數(shù)或雙曲函數(shù)有c2=0,Y(y)=c1sh(nπy/a)，這樣我們就得到基本解X(x)Y(y)，記作只可選解的形式為：帶邊界條件1、2得：通解為取不同的n值對(duì)應(yīng)的φn的疊加，即由邊界條件④，有φ(x,b)=U0，即其中：于是，左右兩邊同乘以sin(mπx/a)，并在區(qū)間(0，a)積分，有：（僅有n=m時(shí)積分不為零）因而，n=2,4,6,…n=1,3,5,…所以，當(dāng)n=1,3,5,…時(shí)，當(dāng)n=2,

7、4,6,…時(shí)，這樣,得到區(qū)域的電位為:例4-8如圖4-9所示，兩塊半無限大平行導(dǎo)體板的電位為零，與之垂直的底面電位為φ(x,0)，求此半無限槽中的電位。其中：圖4-9無限長(zhǎng)槽的電位解：和前題類似，這是一個(gè)二維拉普拉斯方程邊值問題，φ=φ(x,y)，邊界條件為①φ(0,y)=0②φ(a,y)=0③φ(x,∞)=0④為滿足邊界條件④，取級(jí)數(shù)代入邊界條件④，得運(yùn)用正弦函數(shù)的正交歸一性，得：*4.4.2圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法當(dāng)電位與坐標(biāo)變量z無關(guān)時(shí)，上式第三項(xiàng)為零，此時(shí)電位φ(r