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1、第二章蒙特卡洛方法1§2.0概率與統(tǒng)計-和概率A.OR.B：P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB)-與概率A.AND.B：P(A*B)=P(A
2、B)*P(B)=P(B
3、A)*P(A)-條件概率P(A
4、B)=在隨機事件B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率-互斥P(A*B)=0，ie隨機事件AB不能在同一實驗中同時發(fā)生-相互獨立P(A*B)=P(A)*P(B)，ieP(A)=P(A
5、B)=P(A
6、1)古典概率：在相同的實驗條件下，隨機事件A，B按各自確定的概率發(fā)生2全概率公式：貝葉斯Bayes公式：隨機事件
7、A構成互斥完備集合{Ai}，則任意隨機事件B可表述為3隨機變量Ｘ:１）在相同的確定實驗條件下，對Ｘ的觀測無法給出單一固定值;２）必須依據遍舉測量原則，對所有可能取值給出發(fā)生概率離散變量舉例:3MeV光子入射屏蔽鉛板的全吸收反應過程反應類型X:光電效應Compton散射電子對產生反應幾率:e1e2e3e1+e2+e3=100%其中i.e.4連續(xù)型隨機變量:Ｘ在連續(xù)區(qū)間取值，其取某確定值的概率由分布密度函數(shù)給出分布函數(shù)則有5聯(lián)合分布密度:描述兩個(i.e.多維)隨機變量Ｘ與Ｙ的相互關聯(lián)相互獨立:6函數(shù)的分
8、布密度:隨機變量Ｘ密度函數(shù)f(x),其函數(shù)Ｙ=Ｙ(Ｘ)的密度函數(shù)則幾率密度相同變量變換Jaccobi7隨機變量的特征值1)期望值(mean):出現(xiàn)幾率最大或概率中心的觀測值2)方差(standarddeviation):隨機變量x分布對期望值的離散程度３)特征運算:8幾種著名分布1)二項式分布(Binominal):發(fā)生幾率為p,不發(fā)生為q=(1-p),則N次試驗中出現(xiàn)k次的幾率其中k=0,1,2,3…,0≤p≤1,p+q≡1例:反應觸發(fā)率(triggerrate)定義為e=k/N,求其期望值E[e]
9、與方差D[e]92)泊松分布(Poisson):在相同實驗條件下，相同時間內，隨機過程發(fā)生k次的幾率其中關于分布參數(shù)l有當l?∞時，Poisson分布過渡到Gaussian分布103)高斯分布(Gaussian):標準化x?(x-m)/s,則正態(tài)分布11分布函數(shù)對稱分布則,如[a,b]對m對稱,有12Gaussian計數(shù)則,當統(tǒng)計計數(shù)時,N?∞(N≥10)，過渡至高斯分布e.g.l>10l?∞E(k)=D(k)=lN(k;m,m)m=m=ls2=m=l計數(shù)期望值m=N均方根方差s=√N13分布函數(shù)4)
10、指數(shù)分布(Exponential):描述自由粒子壽命，或粒子平均自由程分布函數(shù)5)均勻分布(uniform):其中14大數(shù)法則:在函數(shù)f(x)定義域[a,b]內，以均勻概率分布隨機地取N個數(shù)xi，函數(shù)值之和的算術平均收斂于函數(shù)的期望值在抽取足夠多的隨機樣本后，積分的蒙特卡洛估計值(左邊)將收斂于該積分的正確結果(右邊)即隨機變量統(tǒng)計量為15中心極限定理:大量微弱因素累加而成的隨機變量服從單一正態(tài)分布例：n個相互獨立分布各異的隨機變量，n?∞，則總和服從正態(tài)分布Gaussian分布隨機測量報道置信水平1
11、6統(tǒng)計量:隨機變量X(m,s)一組測量樣本{xi}的函數(shù)例，樣本平均值作為Ｎ維相互獨立(測量)隨機變量的函數(shù)，y亦為隨機變量，亦存在分布收斂于期望值(大數(shù)定理)期望值測量誤差(中心極限)17§2.1MonteCarlo方法理論依據:-均勻分布的算術平均收斂于真值(大數(shù)法則)置信水平下的統(tǒng)計誤差(中心極限)針對待求問題，根據物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計規(guī)律，或人為構造一合適的依賴隨機變量的概率模型，使某些隨機變量的統(tǒng)計量為待求問題的解，進行大統(tǒng)計量N?∞的統(tǒng)計實驗方法或計算機隨機模擬方法。待求問題：1）自然界中本
12、身存在的隨機過程，如粒子衰變過程、粒子在介質中的輸運過程等2）以慨率模型來解決不直接具有隨機性的確定性問題，如求p、求積分18例1.Buffon投針實驗求p(1777年)1）平行線間距=針長=s；2)針與平行線垂線方向夾角a則相交概率為3）各項同性均勻拋針，i.e.夾角a在[0,p]均勻分布4）設N次拋針，M次相交，則相交概率的期望值為（N?∞大數(shù)定理）19問:p的測量精度?服從二項式分布，單次相交概率則20對真值的測量精度與測量次數(shù)平方根反比，即106次實驗才精確到10-321例2.投點法求定積分M
13、N-M隨機地向x∈[0,1],y∈[0,ymax]正方形內投點N，統(tǒng)計落在曲線下的點數(shù)M，當總擲點數(shù)N?∞時建立恰當?shù)母怕誓Ｐ?，即確定某個隨機事件A或隨機變量X，使得待求問題的解等于隨機事件出現(xiàn)的概率或隨機變量的數(shù)學期望值。然后重復進行多次的隨機實驗，對結果進行統(tǒng)計平均，求出A出現(xiàn)的頻數(shù)或X的平均值作為問題的近似解。這種方法也叫做蒙特卡洛模擬。22§2.2偽隨機數(shù)進行計算機模擬需要大樣本的均勻分布隨機數(shù)數(shù)列，如何獲得？-真隨機數(shù)：由隨機物理過程來產生，例
