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《多元函數(shù)微分學(xué)在幾何中的簡單應(yīng)課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、6.3曲面的切平面與法線曲面的參數(shù)方程圓柱面方程其參數(shù)方程為向量的形式即圓柱面可以看作平面區(qū)域到的連續(xù)映射下的像。解：任取一點如右圖，則因此，球面可以看成是平面區(qū)域到的連續(xù)映射（6.22）的像。例6.6建立半徑為的球面的參數(shù)方程。一般的，曲面S看做某區(qū)域D到空間Oxyz的某一連續(xù)映射的像，從而S的方程可表為或?qū)懗上蛄康男问酱硕椒Q為曲面的參數(shù)方程，曲面上的曲線的表示若在D中固定則此映射r下的像點的集合應(yīng)是曲面S上的一條曲線，稱為曲面S上的u曲線，方程是同理可得曲面S上的v曲線的方程為這樣，過曲面S上的每一點P，就有u曲線和一條v曲線，它們的交點就是P。u
2、曲線族和v曲線族構(gòu)成曲面S上的參數(shù)曲線網(wǎng)。曲面S可以看成是映射r將平面uOv上的區(qū)域D在R3中變形后得到的，而D內(nèi)的坐標(biāo)網(wǎng)相應(yīng)的變成了曲面S的參數(shù)曲線網(wǎng)。即為球面的經(jīng)線。即為球面的緯線。復(fù)習(xí)例6.7機械工程中常見的一種曲面稱為正螺面，它是當(dāng)長為l的一動直線段在平面上勻速地繞與此平面垂直的軸旋轉(zhuǎn)，而此直線段所在平面又勻速地沿此軸向上或向下運動時，該直線段的運動軌跡，是建立它的方程。解建立坐標(biāo)系，是運動開始時直線段位于x軸的正方向上，且直線段以原點為起點。記為OM。設(shè)OM的旋轉(zhuǎn)角速度為垂直移動的速度為b>0.正螺面上的任一點P(x,y,z)與z軸的距離為u。
3、令于是正螺面的參數(shù)方程為曲面的切平面與法線曲面S的參數(shù)方程為其中r在D內(nèi)連續(xù)，在點存在偏導(dǎo)數(shù)且（點稱為曲面的正則點）曲面S上過點的u曲線為其在的切向量為在點的切向量為同理可得v曲線上述u曲線和v曲線的切線若是正則點，所以向量不平行，以為法線方向確定了一個平面它是過點且向量的平面。其方程為在S上過點認(rèn)做一條光滑曲線其中上式兩端在處對求導(dǎo)，是何種關(guān)系？曲面S上過點的任一曲線在點的切線與平面線性表示，于是曲線在點的切向量可用故曲線在點的切線必在平面上。由曲線的任意性知：曲面S上過點的任一曲線在點的切線均在平面上。于是稱平面為曲面在點的切平面。過點且垂直于切平面
4、的直線稱為曲面在點處的法線。的方向向量稱為法向量。法線于是S在點的切平面方程是：法線方程為：若均在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則稱曲面S是一光滑曲面。若曲面S的方程是直角坐標(biāo)方程且不妨設(shè)確定二元函數(shù)于是方程于是得曲面的參數(shù)方程于是故法向量取于是曲面在點的切平面方程為：法線方程為：若曲面S的方程是直角坐標(biāo)方程于是曲面在點的切平面方程為：法線方程為：全微分的幾何意義二元函數(shù)在點的全微分為二元函數(shù)的全微分是：用切平面上的改變量代替曲面上的改變量。----局部線性化例6.8求正螺面在處的切平面與法線方程，其中常數(shù)a為非零常數(shù)。解于是對應(yīng)于點（a，-a，2）處的法向量可取為從而
5、得切平面方程法線方程例9.求球面在點(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:令所以球面在點(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量即(可見法線經(jīng)過原點，即球心)例10.如果平面與橢球面相切,提示:設(shè)切點為則(二法向量平行)(切點在平面上)(切點在橢球面上)
