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《(八)曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率.pdf》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、微分幾何教案（十六）3.6曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率3.6曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率一主曲率定義曲面上一點(diǎn)處主方向上的法曲率稱為曲面在該點(diǎn)的主曲率。因曲面在一點(diǎn)處的主方向是過(guò)此點(diǎn)的曲率線的方向，故主曲率即曲面在一點(diǎn)處沿曲率線方向的法曲率。二歐拉公式結(jié)論：取曲面上的曲率線網(wǎng)為曲紋坐標(biāo)網(wǎng)，設(shè)沿u-線的主曲率為?，沿v-線的主曲率為?,曲面上任意方向(d)=du:dv與曲線的夾角1222為?,則沿（d）的法曲率?n滿足?n????12cos??sin.這個(gè)公式叫做歐拉公式。證明因?yàn)榍y坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)，所以F=M=0,
2、所以對(duì)曲面上22??Ldu?Ndv任意方向(d)=du:dv,與其對(duì)應(yīng)的法曲率???.沿u-線n22??EduGdvL（?v?0）的法曲率為主曲率??,沿v-線（?u?0）的法曲率為主曲1EN率??.2GEduu?因?yàn)?d)=du:dv與u-線的夾角是?,所以cos??,222Edu?GdvEu?222Edu2Gdv所以cos??22,sin??22,所以Edu?GdvEdu?Gdv2222Ldu?NdvLEduNGdv22??n???222222?12cos???sin?EduG???dvEEduGdvGEduGdv三主曲
3、率的性質(zhì)命題6曲面上（非臍點(diǎn)）的主曲率是曲面在這點(diǎn)所有方向的法曲率中的最大值和最小值。36微分幾何教案（十六）3.6曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率證明設(shè)???(如果???,可以交換坐標(biāo)u和v）由歐拉公式知：12122222???????????cossin?(?)cos?,于是???????()cos0??,n1221222n1???2所以2n,同樣可得????n???121()sin?，所以?1??n,故???12??n,這就是說(shuō)，曲率??,分別是法曲率?中的最大值和最小值。21n四主曲率的計(jì)算公式??結(jié)論設(shè)(d)=du
4、:dv為曲面S:rruv?(,)在P點(diǎn)處的主方向，沿主方向的主曲率為kN，則kN的計(jì)算公式是LEMF????NN即222?0()EGF??????(LG2)MFNE???()LNM0。NNMFNG????NN注：要求主曲率，只需求出兩類基本量，然后由這個(gè)二次方程解出主曲率kN即可。??證明由Rodrigues定理，kN為主曲率?dn??dr，即????????LduMdv??N()Edu?Fdvndund??v??()rdurd??v?uvNuv????MduNdv??()Fdu?GdvN?()L????NNEdu()M??
5、Fdv0LEMF????NN即?有非零解du:dv??0?()M????NNFdu()N??Gdv0MFNG????NN222即()EGF?????????(LG2)MFNE()LNM0NN五高斯曲率、平均曲率定義設(shè)??12,為曲面上一點(diǎn)的兩個(gè)主曲率，則它們的乘積??12叫做曲面在這一點(diǎn)的高斯曲率，記為K,即K??12?;它們的平均數(shù)稱1為曲面在這一點(diǎn)的平均曲率，記為H，即H??()??。122由主曲率的計(jì)算公式和韋達(dá)定理可知高斯曲率、平均曲率的計(jì)算LN?M2LGM?2FN?E公式是：高斯曲率K?，平均曲率H?2。22(EG
6、?F)EGF?37微分幾何教案（十六）3.6曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率注：由定義和前面的計(jì)算可知半徑為R的球面的高斯曲率為111K=,平均曲率為H?或?。2RRR?例求旋轉(zhuǎn)曲面ru?{()cos,()sin,()}???u??u，（?()0u?）的高斯曲率和平均曲率。，。()??????????????解…………高斯曲率：K??，222()??????22()??????????????????(??)平均曲率：H??。32222(??????)特別,若旋轉(zhuǎn)曲面是xoz平面上的曲線xz??()0?繞z軸旋轉(zhuǎn)而成,?則r
7、u?{()cos,()sin,}???uu?，這時(shí)zuu??()?，所以?????1,??0，2????1????????高斯曲率：K?，平均曲率：H?。223??(1??)2(1????2)2六極小曲面定義一個(gè)曲面如果它每一點(diǎn)處的平均曲率都為零，則稱該曲面為極小曲面。極小曲面的實(shí)際模型是：將在空間彎曲的鉛絲侵入肥皂溶液中，取出時(shí)所得的皂膜曲面。由習(xí)題3可知，正螺面為極小直紋面；下面的例子說(shuō)明，懸鏈面是極小旋轉(zhuǎn)曲面。例求極小旋轉(zhuǎn)曲面38微分幾何教案（十六）3.6曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率21????????2解在上例中
8、令H??0得10?????????，所以3222(1????)???1???????122?，所以2?????ln(1???)lnC1?1????12????2????aae1,?2(??1?c1)??1???，??c1，所以2?1，積分后ea?2?12a2zz??za?ln(??1)??
