代數(shù)數(shù)與超越數(shù).pdf

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1、442004年第10期數(shù)學(xué)通報(bào)代數(shù)數(shù)與超越數(shù)王興東(江蘇南通師范學(xué)校226006)1什么是代數(shù)數(shù)性質(zhì)給出了實(shí)代數(shù)數(shù)所必須滿足的一個(gè)必要條紀(jì)元前600年左右,古希臘的畢達(dá)哥拉斯件,凡不滿足這一條件的實(shí)數(shù)必定不是代數(shù)數(shù),(Pythagoras)學(xué)派證明了正方形的對(duì)角線與其邊劉維爾根據(jù)這一原理構(gòu)造了第一個(gè)超越數(shù),即∞長(zhǎng)之間的比不能用一個(gè)分?jǐn)?shù)表示,即不可公度性,-k!ζ=∑10.這是歷史上第一次發(fā)現(xiàn)無理數(shù).無理數(shù)究竟是些k=1什么樣的數(shù)呢?因?yàn)榈谝粋€(gè)無理數(shù)可以從代數(shù)方2.2繼劉維爾之后,1873年法國數(shù)學(xué)家厄爾米2程x-2=0中得到,這就引導(dǎo)人們進(jìn)一步考察一特(C.He

2、rmite1822-1901)應(yīng)用微積分的工具,般的代數(shù)方程及研究它們的根.證明了數(shù)e為一超越數(shù).他的主要想法如下:一般地,我們有如下的定義:若數(shù)ζ(ζ∈R)首先引進(jìn)了一個(gè)函數(shù)n滿足有理系數(shù)代數(shù)方程(i)①n-1F(x)=∑f(x),其中f(x)為n次多xn+a1x+…+an-1x+an=0i=0則ζ叫做一個(gè)代數(shù)數(shù).若ζ所滿足的最低次項(xiàng)式.的代數(shù)方程的次數(shù)是n,則ζ叫做n次代數(shù)數(shù).則利用分部積分法不難得出bbb-xb顯然,對(duì)于任何有理數(shù)(a,b∈R,a≠0)ef(x)edx=eF(0)-F(b),記為a∫0都是一次方程ax-b=0的根,所以有理數(shù)都是(1).n代

3、數(shù)數(shù),當(dāng)然,形如a(a∈R),a+bi(a,b∈R)又反設(shè)e滿足m次整系數(shù)不可約方程的數(shù)也都是代數(shù)數(shù).mi代數(shù)數(shù)有個(gè)重要性質(zhì):由所有代數(shù)數(shù)組成的∑aix=0,為了導(dǎo)出矛盾,選擇i=0集合對(duì)于普通的加減乘除運(yùn)算來說都是封閉的,m1p-1p也就意味著代數(shù)數(shù)集合構(gòu)成了一個(gè)域.代數(shù)數(shù)域f(x)=(p-1)!x∏(x-i),其中pi=0可以看作由有理數(shù)域擴(kuò)張所得到的,這樣就自然為素?cái)?shù),f(x)的次數(shù)n=mp+p-1.將所選的產(chǎn)生了一個(gè)新的問題:代數(shù)數(shù)域是否已經(jīng)包含了f(x)代入恒等式(1),并令b=i(i=0,1,…,所有的無理數(shù)?有沒有超越于代數(shù)數(shù)之外的無理m),再在(

4、1)兩端同乘以ai,然后按i迭加,得:數(shù)存在呢?mmii-x2.超越數(shù)的研究歷程∑aie∫f(x)edx=-∑aiF(i)-a0F(0),i=00i=0如果把不是代數(shù)數(shù)的復(fù)數(shù)叫做超越數(shù),是否記為(2).接下來可以證明當(dāng)素?cái)?shù)p選得足夠存在超越數(shù)?早在1744年,瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler大,有下列三點(diǎn)事實(shí):1703-1783)已經(jīng)預(yù)見了它的存在.從19世紀(jì)中葉1)F(i)是可被p整除的整數(shù)(i=1,2,…,m);起,人們才逐步揭開了超越數(shù)的神秘面紗,并有過2)F(0)是一個(gè)不能被p整除的整數(shù),從而許多重大突破,現(xiàn)擇要列舉如下:推知(2)的右邊為一非零整數(shù);2.11

5、851年法國數(shù)學(xué)家劉維爾(J.Liouville3)(2)的左邊絕對(duì)值小于1,從而導(dǎo)致矛盾.1809-1882)得到了代數(shù)數(shù)的一個(gè)有理逼近性具體證明略.質(zhì),即如果ζ是一實(shí)n次代數(shù)數(shù),則只存在有限2.31874年德國年輕數(shù)學(xué)家康托(Cantor1845pp1個(gè)有理數(shù)滿足ζ-≤n+1(q>0).該-1918)發(fā)表了題為《關(guān)于一切實(shí)代數(shù)數(shù)的一個(gè)qqq性質(zhì)》的論文,證明了所有代數(shù)數(shù)組成一個(gè)可(i)①f(x)表示f(x)的i階導(dǎo)數(shù).2004年第10期數(shù)學(xué)通報(bào)45數(shù)集,即代數(shù)數(shù)集可以與自然數(shù)集之間建立一一立方體問題無解.在三等分任意角問題中,我們對(duì)應(yīng)的關(guān)系.同時(shí)他又證明了全

6、體實(shí)數(shù)集是一個(gè)只需證明三等分60°角不可能,而三等分60°角不能與可數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的無限集,由此的問題等價(jià)于作出x=cos20°的邊長(zhǎng),由三倍角立即推出實(shí)數(shù)集中一定存在超越數(shù),而全體實(shí)數(shù)31公式cos3θ=4cosθ-3cosθ即知x是方程=是不可數(shù)的,這也說明了幾乎所有的實(shí)數(shù)都是超2越數(shù)!3314x-3x的根,但是4x-3x-是有理數(shù)域上下面我們來了解關(guān)于“代數(shù)數(shù)集合是可數(shù)集”2n的不可約多項(xiàng)式,因此cos20°也是一個(gè)三次代的一個(gè)簡(jiǎn)單證明:定義N=n+∑ai為整系數(shù)數(shù),不能用尺規(guī)作出,所以三等分任意角也是i=0n無解的.i數(shù)不可約n次多項(xiàng)式f(x)=∑

7、aix的指標(biāo),于i=0在化圓為方問題中,取圓的半徑為1,則面是,任意一個(gè)整系數(shù)不可約n次多項(xiàng)式都對(duì)應(yīng)有2積為π,又設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,那么x=π,即唯一的一個(gè)指標(biāo)N,反之,以自然數(shù)N(N≥2)為③x=π.由π是超越數(shù)易知,π也為超越數(shù),指標(biāo)的不可約的多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)是有限的,而每個(gè)所以π是不能用圓規(guī)直尺通過有限步驟作出不可約多項(xiàng)式都包含有限個(gè)根,由代數(shù)數(shù)的定義的,從而化圓為方問題無解.知道,這些根都是代數(shù)數(shù),于是每個(gè)指標(biāo)N都對(duì)2.5繼厄爾米特和林德曼的工作之后,人們自應(yīng)有限個(gè)代數(shù)數(shù).現(xiàn)在我們歷數(shù)所有的指標(biāo)N=然提出了這樣的問題:對(duì)于一般的三角函數(shù)、反2,3,4,…,

8、而對(duì)于每一N,將其對(duì)應(yīng)的