高等數(shù)學(xué)――8.2偏導(dǎo)數(shù)課件.ppt

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1、§8．2偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義、偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性二階偏導(dǎo)數(shù)、關(guān)于二階混合偏導(dǎo)數(shù)的定理一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)z?f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量?x時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0??x，y0)?f(x0，y0)，如果極限存在，記作則稱此極限為函數(shù)z?f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，或fx(x0，y0)．，，，類似地，函數(shù)z?f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)

2、定義為記作或fy(x0，y0)．，，對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作偏導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)z?f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x，y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)z?f(x，y)或fx(x，y)．，，zx，或fy(x，y)．類似地，可定義函數(shù)z?f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù)，記為，，zy，偏導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：fx(x0，y0)fy(x0，y0)=[f(x，y0)]?．．=[f(x0，y)]?偏導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系：fx(x0，y0)fy(x0，y0)=fx(x，y)．．

3、=fy(x，y)?3·1?2·2?7．例1求z?x2?3xy?y2在點(diǎn)(1，2)處的偏導(dǎo)數(shù)．解?2x?3y，?3y?2y．?2·1?3·2?8，?2xsin2y，例2求z?x2sin2y的偏導(dǎo)數(shù)．解?2x2cos2y．?xy?xy?2z．解?yxy?1，?xylnx．解，．；證p?，因?yàn)閂?，；T?，所以??1．．二元函數(shù)z?f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：xyzOx0y0z?f(x，y0)z?f(x0，y)M0TxTy證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)．偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性：對(duì)于多元函數(shù)來說，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存

4、在，也不能保例如不連續(xù)．f(x，y)?在點(diǎn)(0，0)有，fx(0，0)?0，fy(0，0)?0．但函數(shù)在點(diǎn)(0，0)點(diǎn)并二．高階偏導(dǎo)數(shù)按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的為同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)z?f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)?fx(x，y)，?fy(x，y).，那么在D內(nèi)fx(x，y)、fy(x，y)都是x，y的函數(shù)．如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)z?f(x，y)的二偏導(dǎo)數(shù)．?fyy(x，y)．?fxx(x，y)，?fxy(x，y)，?fyx(x，y)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)

5、數(shù)．?fxy(x，y)，?fyx(x，y)，其中稱為混合偏導(dǎo)數(shù)．同樣可得三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù)．類似在可定義二元以上函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)．?6x2y?9y2?1；解?3x2y2?3y3?y，?2x3y?9xy2?x；?6xy2，?6y2．?6x2y?9y2?1，?2x3?18xy；則在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等．定理如果函數(shù)z?f(x，y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，?ln(x2?y2)，證因?yàn)樗?，，，?0．其中．例8證明函數(shù)滿足方程???0，證，，=0．