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《計算方法_第八章_解線性方程組的迭代法_高斯迭代法_迭代法的收斂性課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、計算方法第八章線性方程組的解法計算方法課程組§8.0引言重要性：解線性代數方程組的有效方法在計算數學和科學計算中具有特殊的地位和作用。如彈性力學、電路分析、熱傳導和振動、以及社會科學及定量分析商業(yè)經濟中的各種問題。求解線性方程組的求解方法，其中，。假設非奇異，則方程組有唯一解.§8.0引言分類：線性方程組的解法可分為直接法和迭代法兩種方法。直接法：對于給定的方程組，在沒有舍入誤差的假設下，能在預定的運算次數內求得精確解。最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的啟發(fā)。計算代價高.迭代法：基于一定的
2、遞推格式，產生逼近方程組精確解的近似序列.收斂性是其為迭代法的前提，此外，存在收斂速度與誤差估計問題。簡單實用,誘人?！?.1雅可比Jacobi迭代法(AX=b)一、迭代法的基本思想二、例題分析三、Jacobi迭代公式與解f(x)=0的不動點迭代相類似，將AX=b改寫為X=BX+f的形式，建立雅可比方法的迭代格式：其中，B稱為迭代矩陣。其計算精度可控，特別適用于求解系數為大型稀疏矩陣(sparsematrices)的方程組?！?.1雅可比Jacobi迭代法(AX=b)迭代法的基本思想問題:(a)如何建立迭代格式？(b)向量序列
3、{x(k)}是否收斂以及收斂條件?2例題分析:其準確解為X*={1.1,1.2,1.3}?？紤]解方程組(1)3.1Jacobi迭代法2例題分析:建立與式(1)相等價的形式：(2)其準確解為X*={1.1,1.2,1.3}?？紤]解方程組(1)3.1Jacobi迭代法2例題分析:其準確解為X*={1.1,1.2,1.3}。建立與式(1)相等價的形式：考慮解方程組取迭代初值據此建立迭代公式：迭代結果如下表：迭代次數x1x2x3000010.720.830.8420.9711.071.1531.0571.15711.248241.08
4、5351.185341.2828251.0950981.1950991.29413861.0983381.1983371.29803971.0994421.1994421.29933581.0998111.1998111.29977791.0999361.1999361.299924101.0999791.1999791.299975111.0999931.1999931.299991121.0999981.1999981.299997131.0999991.1999991.299999141.11.21.3151.11.21
5、.3設方程組AX=b,通過分離變量的過程建立Jacobi迭代公式，即由此我們可以得到Jacobi迭代公式：§8.1Jacobi迭代公式?雅可比迭代法的矩陣表示寫成矩陣形式：A=LUDBJacobi迭代陣§8.2高斯-塞德爾迭代法(AX=b)注意到利用Jacobi迭代公式計算時，已經計算好了的值，而Jacobi迭代公式并不利用這些最新的近似值計算，仍用這啟發(fā)我們可以對其加以改進,即在每個分量的計算中盡量利用最新的迭代值，得到上式稱為Gauss-Seidel迭代法.…………寫成矩陣形式：BGauss-Seidel迭代陣§8.2高斯
6、-塞德爾迭代法其準確解為X*={1.1,1.2,1.3}?？紤]解方程組高斯-塞德爾迭代法算例高斯-塞德爾迭代格式迭代次數x1x2x3000010.720.9021.164421.043081.1671881.28205431.093131.1957241.29777141.0991261.1994671.29971951.099891.1999331.29996561.0999861.1999921.29999671.0999981.1999991.29999981.11.21.3開始TFTFT逐次超松弛迭代法(Success
7、iveOverRelaxationMethod，簡寫為SOR)可以看作帶參數ω的高斯-塞德爾迭代法，是G-S方法的一種修正或加速，是求解大型稀疏矩陣方程組的有效方法之一。§8.3超松馳迭代法SOR方法1.SOR基本思想設方程組AX=b,其中，A=(aij)為非奇異陣，x=(x1,x2,…,xn)T,b=(b1,b2,…,bn)T.假設已算出x(k)，§8.3超松馳迭代法SOR方法2.SOR算法的構造ω稱為松弛因子利用高斯-塞德爾迭代法得:§8.3超松馳迭代法SOR方法2.SOR算法的構造(基于G-S迭代)解方程組AX=b的逐次
8、超松弛迭代公式：顯然，當取ω=1時，上式就是高斯-塞德爾迭代公式.§8.3超松馳迭代法SOR方法2.SOR算法的構造(基于Jacobi迭代)得到解方程組AX=b的逐次超松弛迭代公式：顯然，上式就是基于Jacobi迭代的SOR方法.下面令，希望通過選取合適的?來加速收斂，這就是
