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《考研數(shù)學(xué)冪級數(shù)逐項積分和求導(dǎo)后的收斂性分析教案資料.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、考研數(shù)學(xué)冪級數(shù)逐項積分和求導(dǎo)后的收斂性分析精品文檔考研數(shù)學(xué)冪級數(shù)逐項積分和求導(dǎo)后的收斂性分析來源：文都教育在考研數(shù)學(xué)中，高等數(shù)學(xué)中的無窮級數(shù)是數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三的必考內(nèi)容，每年都考，而在無窮級數(shù)這一部分，冪級數(shù)的求和是其中最重要的一部分。冪級數(shù)的求和有多種方法，其中最常用的一種方法是對冪級數(shù)進(jìn)行逐項積分或求導(dǎo)，然后利用一些已知冪級數(shù)的和函數(shù)求出原冪級數(shù)的和。為了使各位考生對這種方法有更深的理解，下面文都網(wǎng)校的蔡老師對其做些分析總結(jié)，供大家參考。一、冪級數(shù)逐項積分和求導(dǎo)后的收斂性分析定理1：冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上可積，并有逐項積分公
2、式，逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑。推論1：若逐項積分后的冪級數(shù)的收斂域為，則.證明：由定理1知，逐項積分后的冪級數(shù)在上每一個點都收斂，因此.定理2：冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項求導(dǎo)公式，逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑。推論2：若逐項求導(dǎo)后的冪級數(shù)的收斂域為，原級數(shù)的收斂域為，則.證明：因為逐項求導(dǎo)后的冪級數(shù)再逐項積分后得，它與原冪級數(shù)僅相差一個常數(shù)，因此其收斂域為，由推論1知.收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔一、典型例題分析例1.比較冪級數(shù)的收斂域與逐項積分后所得冪級
3、數(shù)的收斂域。解：的收斂域顯然是（-1,1），逐項積分后所得的冪級數(shù)為，當(dāng)時，冪級數(shù)發(fā)散，當(dāng)時，，由萊布尼茨判別法知，冪級數(shù)收斂，因此其收斂域為[-1,1），這說明逐項積分后的冪級數(shù)的收斂域比原級數(shù)的收斂域大。例2.比較冪級數(shù)的收斂域與逐項求導(dǎo)后所得冪級數(shù)的收斂域。解：這是例1的逆問題，的收斂域是[-1,1），逐項求導(dǎo)后所得冪級數(shù)是，其收斂域是（-1,1），這說明逐項求導(dǎo)后所得冪級數(shù)的收斂域比原級數(shù)的收斂域小。例3.下列命題中正確的是（）(A)若冪級數(shù)的收斂半徑為，則.(B)若極限不存在，則冪級數(shù)沒有收斂半徑。(C)若冪級數(shù)的收斂域
4、為[-1,1]，則的收斂域也為[-1,1]。收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔(A)若冪級數(shù)的收斂域為[-1,1]，則的收斂域也為[-1,1]。解：正確選項是(D)。根據(jù)冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)，的和函數(shù)在其收斂域[-1,1]上可積，且（），而逐項積分后的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑，因此級數(shù)的收斂域為[-1,1]。其它選項都是錯誤的，這可以通過下面的反例來說明：如：取，此時的收斂半徑為，但不存在，這說明選項(A)和(B)都是錯誤的；再取，此時的收斂域為[-1,1]，但在處發(fā)散，其收斂域為[-1,1），這說明選項(C)是錯誤
5、的。由上面的定理和推論知，冪級數(shù)逐項積分和逐項求導(dǎo)后所得的冪級數(shù)都與原級數(shù)的收斂半徑相同，但收斂域可能不同，它們之間的關(guān)系是：逐項積分后所得冪級數(shù)的收斂域包含原冪級數(shù)的收斂域，而逐項求導(dǎo)所得冪級數(shù)的收斂域被包含于原冪級數(shù)的收斂域之內(nèi)。從上面的例題中我們也看到了，三者之間可能是不相同的，希望大家能理解這一點。最后文都蔡老師祝愿各位考生能取得圓滿成功！收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除
