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1、§1.3克萊姆法則我們已經(jīng)知道,在一定條件下,二元(或三元)線性方程組的解可以用二階(或三階)行列式表示出來.那么,對于n元線性方程組能否用n階行列式來表示?1.克萊姆法則2.齊次線性方程組有非零解的充要條件定理二(克萊姆法則)設(shè)線性方程組的系數(shù)行列式一、克萊姆法則則該線性方程組有且僅有唯一解:其中Dj(j=1,2,...,n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用常數(shù)項b1,b2,???,bn代替后得到的n階行列式.即定理中包含三個結(jié)論:(1)方程組有解(2)解是唯一的(3)解由公式(j=1,2,..
2、.,n)給出注:用克萊姆法則解線性方程組必須有兩個前提條件:(1)未知數(shù)個數(shù)等于方程個數(shù)(2)系數(shù)行列式D?0例1解線性方程組解:方程組的系數(shù)行列式=27?0由克萊姆法則知,方程組有唯一解=81=?108=3=?4=?27=27=?1=1因為x1=0,x2=0,???,xn=0就是一個解,它稱為零解.二、齊次線性方程組有非零解的充要條件齊次線性方程組:顯然,齊次線性方程組總是有解的.齊次線性方程組除了零解以外還有沒有其它解,即非零解?定理三如果齊次線性方程組有非零解,則齊次線性方程組的系數(shù)行列式D
3、=0.[證]由克萊姆法則知齊次線性方程組只有唯一的零解.與已知矛盾若D?0?D=0由定理三可知,齊次線性方程組的系數(shù)行列式D=0是齊次線性方程組有非零解的必要條件.綜合上述,得到:齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式D=0.注:在第四章將會看到,D=0也是齊次線性方程組有非零解的充分條件.例2?取何值時,下述齊次線性方程組有非零解?解:=(?+3)?2齊次線性方程組有非零解?D=0??=?3或0
