n階常系數(shù)線性微分方程的通解公式.pdf

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1、.,.第12卷第找工科數(shù)學(xué)Vol12No3期.1996,月JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYSept1996牛n階常系數(shù)線性微分方程的通解公式’曹躍穎吳海軍李彥慶,(合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械系,5級合肥230009)1.引言,n:眾所周知對階常系數(shù)線性非齊次微分方程y‘”’,‘”一‘’Z‘”一2’y一x,(1)+Py+戶y十?+九f(),,。,,。,,其中pp?p為實(shí)常數(shù)f(x)為實(shí)函數(shù)求其通解的方法一般是先求對應(yīng)齊次方程的通解,再求非齊次方程的一個特解,從而根據(jù)微分方程解的結(jié)構(gòu)可以得到通解.然而這種方法的缺點(diǎn)也是顯而易見的.文[2」討

2、論了二階常系數(shù)線性微分方程,對其特征方程應(yīng)用韋達(dá)定理給出了二階常系數(shù)微分方程的特解形式.文[3〕也對其特征方程應(yīng)用韋達(dá)定理,利用變量代換把,二階常系數(shù)線性微分方程化為等價的二個一階線性微分方程并且給出了在特征方程有不同二實(shí)根、有相等二實(shí)根和有一對共扼復(fù)根時,二階線性微分方程的通解表達(dá)式.文〔3〕指出其方.,法原則n上可推廣到高階常系數(shù)線性非齊次微分方程來求解事實(shí)上利用韋達(dá)定理可把階常系數(shù)線性非齊次方程轉(zhuǎn)化為與其等價的n個一階線性微分方程,從而可以直接求得其通解.2.主要結(jié)果定理In階:常系數(shù)線性非齊次微分方程(1)與方程組,r:“;,{y一y一ul,rZuuZ

3、-一一?(2)煮::!{丫。一1r?！?氣U一一一氣,。二,r,,r:,r。,,r二等價其中一f(x)?為特征方程尸+Pl尹一’二一,r(+?+戶+丸=03)的根.證用數(shù)學(xué)歸納法,.i)n一l時命題顯然成立,,i)設(shè)n一k時即k命題成立階常系數(shù)線性微分方程少“,:夕‘‘’一;夕“’x+戶卜+?+九+八夕=f()與方程組腸本:文指導(dǎo)教師唐爍:n第3期曹躍穎等階常系數(shù)線性微分方程的通解公式157,?犯暴遷:‘*萬廠。,(4)?:;止;:等價,其中r,,r:,,r*?為特征方程尸+,一‘一、r*Pr*+?十勿十P二0的k個根.n,k十:對于一k+1考察1階常系數(shù)線性

4、非齊次微分方程、少“+‘’+,夕“’*少‘。十,夕=x、了.卜仁J八、夕、產(chǎn),戶+?+戶+戶f()對應(yīng)的齊次方程的:特征方程為‘+Pl產(chǎn)+?+八r十.十,r*+戶一0:,,,:,,r*,十1,:設(shè)?八為方程(5)的k+1個根由韋達(dá)定理得-?擎一Plr,2}萬r,一戶KI堿i

5、,]衛(wèi)~11福t

6、‘夕一rly一ulrZuluZ?lt一一u_1r*:‘*一l飛一“眾-=u止,一r介+一u盛u介+1=,,.等價由此說明對于n二k+1時(1)與(2)等價,綜合i)i)可知命題對一切自然數(shù)成立158工科數(shù)學(xué)第12卷n,r

7、,,r:,n定理2對于階常系數(shù)線性非齊次微分方程(1)設(shè)?幾為其特征方程(3)的個根,則(l)的通解為:erZ二?:e、二!,工l::〔,‘d+c〕一{J{{一.·e一、一,’dxZe一r:‘dx。一:e一rl’x二+C]?〕+C〕d+C〕證由定理1及一階常系數(shù)線性微分方程的通解形式易得例求四階微分方程夕“’夕(3’夕,‘夕‘x+10+35+50+24夕=+1的通解.:解其對應(yīng)的齊次齊程的特征方程為r4r3r2()r,+10+35十5+24=0由此解得:特征方程的根為,,,r。八-一1八-一2八-一3-一4.由定理1知上述四階微分方程為方程組u3’:乙3x,、

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10、十4一十1z‘2’u::‘。,+3~u一’u一u:,十Z=了+y一!’l的等價方程.解之得u3le一“,一++c奮矗UZl‘二一“,一+一c一+c沁鑫眾·‘·UllCZ‘3,一’一++C一+C矗瑞合一所以原方程通解為、.‘,,。,,,,131~_1~_~_,_y’一七2“~反一萬Lle十百‘碑一十‘碑一驪一n,,,對于階常系數(shù)線性微分方程求其通解本文提出了一種行之有效的方法它不需要記憶只,,需記住一階線性微分方程的通解形式采用逐步遞推的方法可以求出其通解它的主要思想是把高階微分方程通過韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為一階微分方程.參考文獻(xiàn)〔1]合肥工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)

11、編寫組.高等數(shù)學(xué)(下).科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出