高數(shù)之重積分 (3).pdf

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1、§9．2二重積分的計(jì)算法§9?3三重積分一、三重積分的概念定義設(shè)f(x?y?z)是空間有界閉區(qū)域?上的有界函數(shù)?將?任意分成n個(gè)小閉區(qū)域?v??v??????v12n其中?v表示第i個(gè)小閉區(qū)域?也表示它的體積?在每個(gè)?v上任取一點(diǎn)(?????)?作乘iiiiin積f(?????)?v(i?1?2?????n)并作和?f(?,?,?)?v?如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的iiiiiiiii?1最大值?趨于零時(shí)?這和的極限總存在?則稱此極限為函數(shù)f(x?y?z)在閉區(qū)域?上的三重積分?記作???f(x,y,z)dv?即?n???f(x,y,z)dv?lim?

2、f(?,?,?)?v?iiii??0?i?1三重積分中的有關(guān)術(shù)語????——積分號(hào)?f(x?y?z)——被積函數(shù)?f(x?y?z)dv?——被積表達(dá)式?dv體積元素?x?y?z——積分變量??——積分區(qū)域?在直角坐標(biāo)系中?如果用平行于坐標(biāo)面的平面來劃分??則?v??x?y?z?因此iiii也把體積元素記為dv?dxdydz?三重積分記作???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdydz???n當(dāng)函數(shù)f(x?y?z)在閉區(qū)域?上連續(xù)時(shí)?極限lim?f(?,?,?)?v是存在的?iiii??0i?1因此f(x?y?z)在?上的三重積分是存在

3、的?以后也總假定f(x?y?z)在閉區(qū)域?上是連續(xù)的?三重積分的性質(zhì)?與二重積分類似?比如???[cf(x,y,z)?cg(x,y,z)]dv?c???f(x,y,z)dv?c???g(x,y,z)dv?1212??????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv??????1212???dv?V?其中V為區(qū)域?的體積??二、三重積分的計(jì)算1?利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分三重積分的計(jì)算?三重積分也可化為三次積分來計(jì)算?設(shè)空間閉區(qū)域?可表為1§9．2二重積分的計(jì)算法z(x?y)?z?z(x?y)?y(x)?y?y(x)

4、?a?x?b?1212z(x,y)則???f(x,y,z)dv???[?2f(x,y,z)dz]d?z(x,y)?D1by(x)z(x,y)??dx?2[?2f(x,y,z)dz]dyay(x)z(x,y)11by(x)z(x,y)??dx?2dy?2f(x,y,z)dz?ay(x)z(x,y)11by(x)z(x,y)即???f(x,y,z)dv??dx?2dy?2f(x,y,z)dz?ay(x)z(x,y)?11其中D:y(x)?y?y(x)?a?x?b?它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域?12提示?設(shè)空間閉區(qū)域?可表為z(x?y)?z?z(x

5、?y)?y(x)?y?y(x)?a?x?b?1212計(jì)算???f(x,y,z)dv??基本思想?對(duì)于平面區(qū)域D?y(x)?y?y(x)?a?x?b內(nèi)任意一點(diǎn)(x?y)?將f(x?y?z)只看作z的函數(shù)?12在區(qū)間[z(x?y)?z(x?y)]上對(duì)z積分?得到一個(gè)二元函數(shù)F(x?y)?12z(x,y)F(x,y)??2f(x,y,z)dz?z(x,y)1然后計(jì)算F(x?y)在閉區(qū)域D上的二重積分?這就完成了f(x?y?z)在空間閉區(qū)域?上的三重積分?z(x,y)by(x)z(x,y)??F(x,y)d????[?2f(x,y,z)dz]d???dx?

6、2[?2f(x,y,z)dz]dy?z(x,y)ay(x)z(x,y)DD111z(x,y)則???f(x,y,z)dv???[?2f(x,y,z)dz]d?z(x,y)?D1by(x)z(x,y)??dx?2[?2f(x,y,z)dz]dyay(x)z(x,y)11by(x)z(x,y)??dx?2dy?2f(x,y,z)dz?ay(x)z(x,y)11by(x)z(x,y)即???f(x,y,z)dv??dx?2dy?2f(x,y,z)dz?ay(x)z(x,y)?11其中D:y(x)?y?y(x)?a?x?b?它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)

7、域?122§9．2二重積分的計(jì)算法例1計(jì)算三重積分???xdxdydz?其中?為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x?2y?z?1所圍成的?閉區(qū)域?解作圖?區(qū)域?可表示為:10?z?1?x?2y?0?y?(1?x)?0?x?1?21?x1?1?x?2y于是???xdxdydz??dx?2dyxdz000?1?x1??xdx?2(1?x?2y)dy00111??(x?2x2?x3)dx??4048討論?其它類型區(qū)域呢?有時(shí)?我們計(jì)算一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分?設(shè)空間閉區(qū)域??{(x?y?z)

8、(x?y)?D?c?z?c}?其中D是豎坐標(biāo)

9、為z的平面截空z12z間閉區(qū)域?所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域?則有c???f(x,y,z)dv??2dz??f(x,y,z)dx