動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型.pdf

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1、第十八章動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型動(dòng)態(tài)過(guò)程的另一類問(wèn)題是所謂的動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題，這類問(wèn)題一般要?dú)w結(jié)為求最優(yōu)控制函數(shù)使某個(gè)泛函達(dá)到極值。當(dāng)控制函數(shù)可以事先確定為某種特殊的函數(shù)形式時(shí)，問(wèn)題又簡(jiǎn)化為求普通函數(shù)的極值。求解泛函極值問(wèn)題的方法主要有變分法和最優(yōu)控制理論方法?！?變分法簡(jiǎn)介變分法是研究泛函極值問(wèn)題的一種經(jīng)典數(shù)學(xué)方法，有著廣泛的應(yīng)用。下面先介紹變分法的基本概念和基本結(jié)果，然后介紹動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題求解的必要條件和最大值原理。1.1變分法的基本概念1.1.1泛函設(shè)S為一函數(shù)集合，若對(duì)于每一個(gè)函數(shù)x(t)∈S有一個(gè)實(shí)數(shù)J與之對(duì)應(yīng)，則稱J是對(duì)應(yīng)在S上的泛函，記作J(x(t))。S稱為J的容許函

2、數(shù)集。通俗地說(shuō)，泛函就是“函數(shù)的函數(shù)”。例如對(duì)于xy平面上過(guò)定點(diǎn)A(x,y)和B(x,y)的每一條光滑曲線y(x)，繞x軸1122旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積是曲線y(x)的泛函J(y(x))。由微積分知識(shí)不難寫(xiě)出x22J(y(x))=∫2πy(x)1+y'(x)dx（1）x1容許函數(shù)集可表示為1S={y(x)

3、y(x)∈C[x,x],y(x)=y,y(x)=y}（2）121122最簡(jiǎn)單的一類泛函表為t2J(x(t))=∫F(t,x,x&)dt（3）t1被積函數(shù)F包含自變量t，未知函數(shù)x及導(dǎo)數(shù)x&。（1）式是最簡(jiǎn)泛函。1.1.2泛函的極值泛函J(x(t))在x(t)∈S取

4、得極小值是指，對(duì)于任意一個(gè)與x(t)接近的00x(t)∈S，都有J(x(t))≥J(x(t))。所謂接近，可以用距離d(x(t),x(t))<ε來(lái)度量，00而距離定義為d(x(t),x(t))=max{

5、x(t)?x(t)

6、,

7、x&(t)?x&(t)

8、}000t1≤t≤t2泛函的極大值可以類似地定義。x(t)稱為泛函的極值函數(shù)或極值曲線。01.1.3泛函的變分如同函數(shù)的微分是增量的線性主部一樣，泛函的變分是泛函增量的線性主部。作為泛函的自變量，函數(shù)x(t)在x(t)的增量記為0δx(t)=x(t)?x(t)0也稱函數(shù)的變分。由它引起的泛函的增量記作ΔJ=J(x(t)+δx(

9、t))?J(x(t))00如果ΔJ可以表為-218-ΔJ=L(x(t),δx(t))+r(x(t),δx(t))00其中L為δx的線性項(xiàng)，而r是δx的高階項(xiàng)，則L稱為泛函在x(t)的變分，記作0δJ(x(t))。用變動(dòng)的x(t)代替x(t)，就有δJ(x(t))。00泛函變分的一個(gè)重要形式是它可以表為對(duì)參數(shù)α的導(dǎo)數(shù)：?δJ(x(t))=J(x(t)+αδx(t))（4）α=0?α這是因?yàn)楫?dāng)變分存在時(shí)，增量ΔJ=J(x(t)+αδx)?J(x(t))=L(x(t),αδx)+r(x(t),αδx)根據(jù)L和r的性質(zhì)有L(x(t),αδx)=αL(x(t),δx)r(x(t),α

10、δx)r(x(t),αδx)lim=limδx=0α→0αα→0αδx所以?J(x+αδx)?J(x)J(x+αδx)=limα=0?αα→0αL(x,αδx)+r(x,αδx)=lim=L(x,δx)=δJ(x)α→0α1.1.4極值與變分利用變分的表達(dá)式（4）可以得到泛函極值與變分的關(guān)系：若J(x(t))在x(t)達(dá)到極值（極大或極?。?，則0δJ(x(t))=0（5）0這是因?yàn)閷?duì)任意給定的δx，J(x+αδx)是變量α的函數(shù)，該函數(shù)在α=0處達(dá)到極0值。根據(jù)函數(shù)極值的必要條件知?J(x+αδx)=00α=0?α于是由（4）式直接得到（5）式。1.1.5.變分法的基本引理

11、1引理?(x)∈C[x,x]，?η(x)∈C[x,x]，η(x)=η(x)=0，有121212x2∫?(x)η(x)dx≡0，x1則?(x)≡0,x∈[x,x]。121.2無(wú)約束條件的泛函極值求泛函tfJ=∫F(t,x(t),x&(t))dt（6）t0的極值，一般是用泛函極值的必要條件去尋找一條曲線x(t)，使給定的二階連續(xù)可微*函數(shù)F沿該曲線的積分達(dá)到極值。常稱這條曲線為極值曲線（或軌線），記為x(t)。1.2.1端點(diǎn)固定的情況設(shè)容許曲線x(t)滿足邊界條件-219-x(t)=x，x(t)=x（7）00ff且二次可微。首先計(jì)算（6）式的變分：?δJ=J(x(t)+αδx(

12、t))α=0?αtf?=F(t,x(t)+αδx(t),x&(t)+αδx&(t))dt∫tα=00?αtf=∫[Fx(t,x,x&)δx+Fx&(t,x,x&)δx&]dt（8）t0對(duì)上式右端第二項(xiàng)做分布積分，并利用δx(t)=δx(t)=0，有0ftftfd∫tFx&(t,x,x&)δx&dt=?∫tFx&(t,x,x&)δxdt，00dt再代回到（8）式，并利用泛函取極值的必要條件，有tfdδJ=∫[Fx?Fx&]δxdt=0t0dt因?yàn)棣膞的任意性，及δx(t)=δx(t)=0，所以由基本引理得到著名的歐拉